Степенные ряды. Область сходимости.Радиус сходимости и его вычисление.

S_0...¥f_N (x) D={x Î R: S_0...¥f_N(x) - сходится}

Пример: S_0...¥x^N; ^NÖx^N = |x|<1 - признак сходимости Коши => (-1,1) - область сходимости данного ряда

f_N(x) = a_N(x-x₀)^N; S_0...¥a_N(x-x₀)^N - вид степенного ряда x₀ = const t = x-x₀ => S_0...¥ a_Nt^N

Лемма: Пусть (1) сходится при x = x₀ и |x₁|<|x₀|, тогда (1) сходится при x = x₁:

Доказательство: S_0...¥ a_Nx₀^N - сходится => lim a_Nx₀^N = 0 (необходимый признак сходимости) => a_Nx₀^N - ограничена $ M: |a^Nx₀^N|<M

Рассмотрим общий член ряда в точке x₁:

|a_Nx₁^N| = |a_Nx₀^N| * (|x₁|/|x₀|)^N < M * (|x₁|/|x₀|)^N

|x₁|/|x₀| < 1 => M * (|x₁|/|x₀|)^N - сходящаяся геометрическая прогрессия => по первому признаку сравнения наш ряд сходится абсолютно

Th: Область сходимости ряда S_0...¥ a_Nx^N (1) имеет вид <-R,R>, причем внутри области ряд сходится абсолютно.

Доказательство: D - область сходимости (1); R = supD; |x|<R

$ x₀ Î D: |x|<x₀, в точке x₀ ряд сходится => по лемме => в точке x - ряд сходится абсолютно => (-R,R) £ D.

Предположим противное: Пусть |x|>R, x Ï D, x Î(-¥,R)È(R,+¥) существуют 4 возможности: концевые точки входят в D, не входят в D, одна входит. Применим к ряду в теореме признак сходимости Коши:

lim^NÖ(a_Nx^N ) = lim(^NÖa_N)|x| < 1, если lim (^NÖa_N) = 0, то сходится при любом x. Иначе |x| =1/^NÖa_N = R

29.Арифметическое n - мерное пространство R^N. Метрики и их эквивалентность.

(x₁,x₂,...,x_N) = x Î R^N

y = (y₁, y₂,...,y_N), XY = (y₁-x₁, y₂-x₂,...,y_N-x_N) x,y Î R^N

Df: r: R^NxR^N ® R, r - метрика, если:

1) r(x,x) = 0 - расстояние от x до x, r(x,x) ¹ 0, если x ¹ y

2) r(x,y) = r(y,x) - симметричность

3) r(x,y) £ r(x,z)+r(z,y)

Df: Метрики r₁,r₂ эквивалентны, если $ а,b ¹ 0: ar₁(x,y) £ r₂(x,y) £ br₁(x,y)

r₁(x,y) = Ö(XY - XY) = S_1...N Ö(x_I-y_I)²

r₂(x,y) = max |x_I-y_I|

r₃(x,y) = S_1...N|x_I-y_I|

Утверждение: Метрики r₁, r₂, r₃ - эквивалентны:

Доказательство:

r₁ эквивалентна r₂:

r₁(x,y)£Ön*r₂(x,y) - слева под корнем каждое слагамое становится больше либо остается тем же (заменяем каждое (x_I-y_I) на max (x_I-y_I))

=> r₁(x,y) £ S_1...N Ömax(x_I-y_I)², так как мах|x_I-y_I| - const => S_1...NÖмах(x_I-y_I)² = Ön мах(x_I-y_I)² = Ön * r₂

r₂(x,y) £ r₁(x,y) = S_1...NÖ(x_I-y_I)² = Ö((x₁-y₁)²+(x₂-y₂)²+...+max(x_i-y_I)²+...+(x_N-y_n)²)=Ö(max(x_i-y_i)²+Остаток) ³ Ömax(x_i-y_i)²) = мах|x_i-y_I| = r₂(x,y)

Получили: r₂(x,y) £ r₁(x,y) £ Ön * r₂(x,y) => по определению (a=1, b=Ön) - метрики эквивалентны.

r₂ эквивалентна r₃:

r₂(x,y) £ r₃(x,y) <= r₂(x,y) = max|x_i-y_i| £ S|x_i-y_i| = r₃(x,y)

r₃(x,y) £ nr₂(x,y) <= r₃(x,y) = S|x_i-y_i| £ Smax|x_i-y_I|, так как мах|x_i-y_I| - const => Sмах|x_i-y_i| = nмах|xi-yi| = nr₂

Получили: r₂(x,y) £ r₃(x,y) £ nr₂(x,y) => по определению (a=1, b=n) - метрики эквивалентны.

По свойству эквивалентности (транзитивность) метрика r₁(x,y) эквивалентна метрике r₃(x,y).

Df: {x^M} x^M Î R^N => x^M = (x₁^M, x₂^M,..., x_N^M), x^O Î R^N

lim x^M = x^O при m®¥ " E>0 $ m_O: " m>m_O r(x^m,x^O) < E

lim r(x^M,x^O) = 0 при m®¥

Df:Окрестность - O_R(x^O): x^O - центр окрестности, R - радиус, x^O Î R^N, R > 0 {x Î R^N: 0 < r( x,x^O) < R}

Лемма Больцано-Вейрштрасса: Если посл-сть {x^M}ограничена, т.е. $ C: r(x^M,0) < C), то существует сходящаяся подпосл-сть x^Mk.

Доказательство: по индукции

n = 1 = > x^M - огр. числовая посл-сть в одномерном пространстве (r=r₂) => по теореме Больцано - Вейрштрасса $ сходящаяся подпосл-сть x^Mk => лемма верна.

Пусть лемма верна для n = k, докажем что она верна для n = k+1: возьмем посл-сть (x^M,y_M) x^M Î R^N, y_M Î R, r(x^M,0) £ r((x^M,y_M),0), y_M - числовая посл-сть из нее выделяем сходящуюся y_Mk ® y₀. Рассмотрим подпосл-cть (x^Mk,y_Mk) посл-сти (x^M,y_M) x^Mk - ограничена => по индуктивному предположению $ x^MKs®x^O, y_MKs®y_O (как подпосл-сть сходящейся числовой посл-сти y_Mk)

r((x^MKs, y_MKs),0) £ r(x^MKs,0) + |y_MKs|, r((x^MKs, y_MKs),(x^O,y^O)) £ r(x^MKs,x^O) + |y_MKs+y_O|

Df: Последовательность {x^M} - фундаментальна, если " E>0 $ m_O: " m₁,m₂ > m_O r(x^M1,x^M2)<E

Критерий Коши: Последовательность сходится <=> она фундаментальна.

=>: x^M® x^O => r₂(x^M,x^O)®0; C m_O: A m > m_O => r₂(x^M,x^O) < E; возьмем m₁,m₂ > m_O: r₂(x^M1,x^M2) £ r₂(x^M1,x^O) + r₂(x^O,x^M2) £ E/2 + E/2 = E

<=: возьмем E = 1 => $ m_O: " m₁,m₂ > m_O r₂(x^M1,x^M2) < 1 => т.е. начиная с некоторого x^Ko до любого другого расстояние меньше единицы r(o,x^M) £ r(0,x^Ko) + 1 => r(o,x^M) £ C => x^M - ограничена => по лемме Больцано-Вейерштрасса $ сходящаяся подпосл-сть x^Mk®x^O, можно сделать k настолько большим, чтобы m_K > m_O и r(x^Mk,x^O)®0, т.о. " m>m_О r₂(x^M,x^O) £ r₂(x^M,x^Mk) + r₂(x^Mk,x^O) - справа первое слагаемое ® 0 по фундаментальности, а второе ® 0 по доказанному выше => r(x^M,x^O) ® 0 для m®¥ => x^M ® x^O