рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте.

Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте. - раздел Математика, Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов. Df: A í RN, XO î A; X...

Df: A Í R^N, x^O Î A; x^O - внутренняя точка A, если $R: O_R(x^O) Í A. A^O - множество внутренних точек.

Df: A Í R^N, x^O - необязана лежать в А; x^O - предельная точка A, если $E>0: O_E(x^O)ÇA¹Æ. A’ - множество предельных точек.

Df: A Í R^N; x^O - изолированная точка от A, если $E>0: O_E(x^O)ÇA=Æ. A’ - множество предельных точек.

Df:A - замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки (А^{^} = AÈA’)

Df: A - ограничено, если $ E>0: A £ O_E(x⁰) - где x^O - произвольная точка множества A.

Df:A - открыто, если каждая точка множества A является его внутренней точкой.

Th: 1) Если А замкнуто, то СА = R^NA - открыто

2) Если А открыто, то СА = R^NA - замкнуто

Доказательство:

1) x^O Î CA => x^O Ï A = AÈA’ => x^O Ï A’ => $E>0: O_E(x^O)ÇA=Æ => x Î O_E(x^O)ÇA => x Î CA => O_E(x^O)ÇA Í CA

2) x^O Î (CA)’CA => x^O Î A => x^O Î (CA)’ÇA => x^O Î A => $E>0: O_E(x^O)ÍA => O_E(x^O)ÇA => x Î CA => O_E(x^O)ÇCA = Æ => x^O - изолированна от СА => x^OÎ (CA)’

Df: A Í R^N- компактно, если оно ограничено и замкнуто.

Th:Пусть K - компактно в R^N и {x^M} - фундаментальная последовательность из K, тогда lim x^M Î K.

Доказательство:

x^O - предельна в прежнем смысле

E=1/m: O_E(x^O)ÇA=Æ => 0 < r(x^M,x^O) < 1/m пользуясь предельным переходом при m®¥, получаем 0 < r(x^M,x^O) < 0 => r(x^M,x^O) = 0

Лемма: x^O - предельная точка А, если $ последовательность {x^M}ÎА lim x^M = x^O, x^M ¹ x^O

x^O - предельна в новом смысле

x^MÎ O_E(x^O)ÇA, lim x^M= lim x^O => $m_O: r(x^Mo,x^O) < E

x^M®x^O => Ai x^Mi®x^Oi => |x^Mi-x^Oi| < r(x^Mo,x^O); r(x^Mo,x^O) £ r₃(x^Mo,x^O)®0

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов.

На сайте allrefs.net читайте: Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов....

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Эквивалентность функций.
d - отношение эквивалентности Df: Пусть D - множество диф-мых на промежутке I функций F d G <=> F' = G' Df: Введем понятие отношения t: F t

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай простых корней)
P(x)/Q(x) - др/рац. функция над полем R, degP(x)<degQ(x) => дробь правильная. Если дробь неправильная => P = Q*q+r, P/Q = q+r/Q, где r/Q - правильная дробь Лемма:

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай кратных корней)
Лемма1: Пусть P(x), Q(x) над полем R[x] degP(x)<degQ(x); Q(x)=(x-z)kR(x) k³2, R(z)¹0, тогда $AÎR и P'(x) над R[x]: òP(x)/Q(x)dx=A/(x-z)k-1

Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции.
P - упорядоченное по возрастанию конечное мн-во (.) из [a,b] содержащих (.) a & b. P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn

Суммы Дарбу и их свойства
P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn = b} NI = sup f(x) x Î [xI-1,xI]

Критерий интегрируемости
Из утверждения о том что для произвольных разбиений P & Q c(P) £ C(Q), зафиксировав Q получим, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху (одной из верхних сумм) => $ sup c(P) =

Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
Th: Если f ограничена и монотонна на [a,b], то f Î L[a,b]: Доказательство: P = {a = x0 < x1< x2 <

Среднее значение функции на отрезке.
Th: Пусть f, g Î L[a,b} и f(x) £ g(x) на [a,b], Тогда: a) £

И дифференцируемость. Существование первообразной у непрерывной функции.
f Î L[a,b], F(x) = , x Î [a,b] Th: Пусть f Î L[a,b], тогда F(x) =

Формула Ньютона-Лейбница
Th: Пусть f Î L[a,b] имеет первообразную F на (a,b), F непрерывна в точках a и b, Тогда = F(b)

Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Теорема о замене переменной: Пусть g монотонна на [a,b] и g’ Î C[a,b], f Î C[g(a),g(b)], тогда

Сходимость несобственного интеграла и ряда. Их взаимосвязь. Критерий Коши.
[a,b) b Î RÇ{¥} " b' < b f(x) Î L[a,b`] => F(x) = (a£x£b)

Абсолютная и условная сходимости. Теоремы сравнения.
У всех интегралов в b особенность Df:сходится абсолютно если

Интегральный признак сходимости ряда.
Интегральный признак сходимости ряда: f Î [o,x) x Î R+. Пусть f(x) монотонно стремится к 0 при x®+¥, Тогда следующие условия равносильны: 1)

Ряды Лейбница
S0...¥ aN, где aNaN+1 < 0, т.е. знаки aN и aN+1 противоположны Th: Пусть aNa

Степенные ряды. Область сходимости.Радиус сходимости и его вычисление.
S0...¥fN (x) D={x Î R: S0...¥fN(x) - сходится} Пример: S0...¥xN; N

Предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывной функции на компакте.
f:RN ® RM (при m = 1 - это фунция от n переменных) f:D Î RN ® RM A Î RN - предел этой вектор функции, xO

Связанные множества. Теорема о промежуточном значении.
Df: D Í RN u:[a,b] ® RN, u - непрерывна на [a,b], u(x) ¹ u(x') при x ¹ x', u(a) = xO, u(b)=x1. При x ¹ x' T = {u(x

Дифференцируемость. Производные по направлению.
Df: Пусть Df - область определения функции f Î RN, f:Df®RM, xO Î DOf (DOf - множество внутренних точек), f - дифф

Поверхности уровня. Касательная плоскость.
Th: Пусть f:DÍR2®R и ¶2/¶x¶y, ¶2/¶y¶x - непрерывны в точке (x0,y0), тогда ¶2f(x0,y0)/