Связанные множества. Теорема о промежуточном значении.

Df: D Í R^N u:[a,b] ® R^N, u - непрерывна на [a,b], u(x) ¹ u(x') при x ¹ x', u(a) = x^O, u(b)=x¹. При x ¹ x' T = {u(x):x Î [a,b]}- путь из x^O в x¹.

Df: D - связано, если " x^O,x¹ Î D $ путь T(x^O,x¹) < D.

Df: Областью называется открытое связанное множество.

Th: Пусть 1) f:d®R

2) D - область

3) f непрерывна в D

4) x',x" ПР D f(x')<f(x")

Тогда " C Î [f(x'),f(x")] $ x^O Î D: C = f(x^O)

Доказательство: D - связанное множество => $ T = {u(t): t[a,b]}, u(a)=x', u(b)=x"

F(t) = f(u(t)), F - определена на [a,b], она непрерывна, т.к. u - непрерывна, f - непрерывна в любой точке области определения.

F(a) = f(u(a)) = f(x'); F(b) = f(u(b)) = f(x")

По теореме о промежуточном значении (имеем право применить, так как F - функция от одной переменной) $ j Î [a,b]: F(j) = C, c = F(j) = f(u(j)), j Î [a,b] => u(j) - находится на пути => $ x^O = u(j) Î T £ D