Поверхности уровня. Касательная плоскость.

Th: Пусть f:DÍR²®R и ¶²/¶x¶y, ¶²/¶y¶x - непрерывны в точке (x⁰,y⁰), тогда ¶²f(x⁰,y⁰)/¶x¶y = ¶²f(x⁰,y⁰)/¶y¶x

Доказательство:F(h) = f(x⁰+h,y⁰+h) - f(x^O,y^O+h) - f(x^O+h,y^O) + f(x^O,y^O) / h²

Зафиксировав h и y получаем: U(x) = f(x,y^O+h) - f(x,y^O) / h, F(h) = U(x^O+h) - U(x^O) / h

Зафиксировав h и ч получаем: U(y) = f(x^O+h,y) - f(x^O,y) / h, F(h) = U(y^O+h) - U(y^O) / h

Переходя в равенствах к пределам при h ® 0, получим U(x) = U(y).