рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции.

Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции. - раздел Математика, Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов. P - Упорядоченное По Возрастанию Конечное Мн-Во (.) Из [A,b] Содержащих (.) A...

P - упорядоченное по возрастанию конечное мн-во (.) из [a,b] содержащих (.) a & b.

P = {a = x₀< x₁< x₂<...< x_n-1< x_n = b}

midP - множество перестановок (m₁,...,m_N) Î [a,b] x_I-1£m_I£x_I, i = 1...n

D(x_I) = x_I-x_I-1 - шаг разбиения dP = max D(x_I)

f:[a,b]®R фиксируем P & M Î midP

s(P,M) = S_1...Nf(m_I)D(x_I) - интегральная сумма Римана

lim s(P,M) = I при dP®0

Df по Коши: " E>0 $ d>0: dP<d => " M Î midP |s(P,M)-I |<E

Df по Гейне: (P_K,M_K) M_K Î mid P_K(dPk®0) => (s(Pk,Mk) ®I)

Th: Два определения эквивалентны:

Доказательство:

К=>Г: dP_K®0 (по Гейне), $ k_О: " k > k_О dP_K< w => (по Коши) => |s(P_K,M_K)-I | < E

Г=>К: Докажем что из отрицания К следует отрицание Г (2 закон логики):

Отрицание Коши: $ E>0: " w>0 $ (P,M) dP<w => |x(P,M)-I| ³ E

Найдется s(P_K,M_K)=1/k: dP_K<1/k => |s(P_K,M_K)-I |³E, но dP_K®0 и если Гейне верен тогда s(P_K,M_K)®I, но тогда переходя к пределу в выражении |x(P,M)-I|³E получим 0³E - противоречие=>Гейне не верен=>из отрицания Коши следует отрицание Гейне.

lim s(P,M) = I при dP®0, I=

Th: Если f Î L[a,b], то f ограничена на [a,b]:

Доказательство:Достаточно доказать, что если f неогр. на [a,b] => s(P_K,M_K)>k

Пусть f неограничена на [a,b]: h = b-a / k h = dP_K

$ i: f неограничена на f [a+(i-1)h,a+ih],

mj Î [a+(j-1)h,a+jh] - произвольные при j ¹ i

M(m₁, m₂,...m_I,...,m_K)

s(P_K,M_K)=S_I_¹_J(m_J)D(x_J)+f(m_I)D(x_I) = A + f(m_I)D(x_I)

|s(P_K,M_K)| ³ |f(m_I)|D(x_I) - |A| > k т.к. $ m_I: |f(m_I)| > k + |A|/h

dP_K= b-a/k®0

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов.

На сайте allrefs.net читайте: Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов....

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Эквивалентность функций.
d - отношение эквивалентности Df: Пусть D - множество диф-мых на промежутке I функций F d G <=> F' = G' Df: Введем понятие отношения t: F t

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай простых корней)
P(x)/Q(x) - др/рац. функция над полем R, degP(x)<degQ(x) => дробь правильная. Если дробь неправильная => P = Q*q+r, P/Q = q+r/Q, где r/Q - правильная дробь Лемма:

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай кратных корней)
Лемма1: Пусть P(x), Q(x) над полем R[x] degP(x)<degQ(x); Q(x)=(x-z)kR(x) k³2, R(z)¹0, тогда $AÎR и P'(x) над R[x]: òP(x)/Q(x)dx=A/(x-z)k-1

Суммы Дарбу и их свойства
P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn = b} NI = sup f(x) x Î [xI-1,xI]

Критерий интегрируемости
Из утверждения о том что для произвольных разбиений P & Q c(P) £ C(Q), зафиксировав Q получим, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху (одной из верхних сумм) => $ sup c(P) =

Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
Th: Если f ограничена и монотонна на [a,b], то f Î L[a,b]: Доказательство: P = {a = x0 < x1< x2 <

Среднее значение функции на отрезке.
Th: Пусть f, g Î L[a,b} и f(x) £ g(x) на [a,b], Тогда: a) £

И дифференцируемость. Существование первообразной у непрерывной функции.
f Î L[a,b], F(x) = , x Î [a,b] Th: Пусть f Î L[a,b], тогда F(x) =

Формула Ньютона-Лейбница
Th: Пусть f Î L[a,b] имеет первообразную F на (a,b), F непрерывна в точках a и b, Тогда = F(b)

Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Теорема о замене переменной: Пусть g монотонна на [a,b] и g’ Î C[a,b], f Î C[g(a),g(b)], тогда

Сходимость несобственного интеграла и ряда. Их взаимосвязь. Критерий Коши.
[a,b) b Î RÇ{¥} " b' < b f(x) Î L[a,b`] => F(x) = (a£x£b)

Абсолютная и условная сходимости. Теоремы сравнения.
У всех интегралов в b особенность Df:сходится абсолютно если

Интегральный признак сходимости ряда.
Интегральный признак сходимости ряда: f Î [o,x) x Î R+. Пусть f(x) монотонно стремится к 0 при x®+¥, Тогда следующие условия равносильны: 1)

Ряды Лейбница
S0...¥ aN, где aNaN+1 < 0, т.е. знаки aN и aN+1 противоположны Th: Пусть aNa

Степенные ряды. Область сходимости.Радиус сходимости и его вычисление.
S0...¥fN (x) D={x Î R: S0...¥fN(x) - сходится} Пример: S0...¥xN; N

Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте.
Df: A Í RN, xO Î A; xO - внутренняя точка A, если $R: OR(xO) Í A. AO - множество внутренних то

Предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывной функции на компакте.
f:RN ® RM (при m = 1 - это фунция от n переменных) f:D Î RN ® RM A Î RN - предел этой вектор функции, xO

Связанные множества. Теорема о промежуточном значении.
Df: D Í RN u:[a,b] ® RN, u - непрерывна на [a,b], u(x) ¹ u(x') при x ¹ x', u(a) = xO, u(b)=x1. При x ¹ x' T = {u(x

Дифференцируемость. Производные по направлению.
Df: Пусть Df - область определения функции f Î RN, f:Df®RM, xO Î DOf (DOf - множество внутренних точек), f - дифф

Поверхности уровня. Касательная плоскость.
Th: Пусть f:DÍR2®R и ¶2/¶x¶y, ¶2/¶y¶x - непрерывны в точке (x0,y0), тогда ¶2f(x0,y0)/