рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Суммы Дарбу и их свойства

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Суммы Дарбу и их свойства

Суммы Дарбу и их свойства - раздел Математика, Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов. P = {A = X0 < X1< X2 <...< X...

P = {a = x₀< x₁< x₂<...< x_n-1< x_n = b}

N_I= sup f(x) x Î [x_I-1,x_I]

n_I= inf f(x) x Î [x_I-1,x_I]

C(P) = S_1...KN_ID(x_I) - верхняя сумма Дарбу

c(P) = S_1...Kn_ID(x_I) - нижняя сумма Дарбу

m_I Î [x_I-1,x_I]; n_I£ f(m_I) £ N_I; c(P) £ s(P,M) £ C(P), M Î midP

Th: sup s(P,M) = C(P), M Î midP & inf s(P,M) = c(P), M Î midP

Доказательство:

a) c(P) = S_1...Kn_ID(x_I) = S_1...Kinf f(x)D(x_I), где x Î [x_I-1,x_I]

S_1...Kinff(x)D(x_I) = inf S_1...Kf(x)D(x_I) = inf s(P,M)

б) C(P) = S_1...KN_ID(x_I) = S_1...Ksup f(x)D(x_I), где x Î [x_I-1,x_I]

S_1...Ksup f(x)D(x_I) = sup S_1...Kf(x)D(x_I) = sup s(P,M)

Лемма1: Пусть P<Q, тогда a) C(P) ³ C(Q) б) c(P) £ c(Q)

P = {x₀< x₁< ... < x_I-1 < x_I<...< x_n-1< x_n}; Q = {x₀< x₁< ... < x_I-1< x’ < x_I’<...< x_n-1< x_n}

a) C(P) = M₁D(x₁) + M₂D(x₂) +...+ M_I-1D(x_I-1) + M_ID(x_I) +...+ M_ND(x_N)

C(Q) = M₁D(x₁) + M₂D(x₂) +...+ M_I-1D(x_I-1) + M’D(x’) + M_I’D(x_I’) +...+ M_ND(x_N)

M_I = sup f(x), x Î [x_I-1,x_I]

M’ = sup f(x), x Î [x_I-1,x’] £ M_I

M_I’ = sup f(x), x Î [x’,x_I-1] £ M_I

Таким образом M’D(x’) + M_I’D(x_I’) £ M_ID(x_I), где D(x_I) = D(x’) + D(x_I’) => C(P) £ C(Q)

б) c(P) = M₁D(x₁) + M₂D(x₂) +...+ M_I-1D(x_I-1) + M_ID(x_I) +...+ M_ND(x_N)

c(Q) = M₁D(x₁) + M₂D(x₂) +...+ M_I-1D(x_I-1) + M’D(x’) + M_I’D(x_I’) +...+ M_ND(x_N)

M_I = inf f(x), x Î [x_I-1,x_I]

M’ = inf f(x), x Î [x_I-1,x’] ³ M_I

M_I’ = inf f(x), x Î [x’,x_I-1] ³ M_I

Таким образом M’D(x’) + M_I’D(x_I’) ³ M_ID(x_I), где D(x_I) = D(x’) + D(x_I’) => c(P) £ c(Q)

Лемма2: Пусть P и Q произвольные разбиения [a,b], тогда c(P) £ C(Q)

Доказательство: Пусть промежуток [a,b] разбит на части разбиением P составим для этого разбиения суммы Дарбу: c(P)=c1 и C(P)=C1. Рассмотрим теперь другое никак не связанное с первым разбиение Q и составим другие суммы Дарбу: c(Q)=c2 и C(Q) = C2. Требуется доказать что c1 < C2: объединим точки деления P и Q и получим новое разбиение S с суммами Дарбу c3 и C3. Так как S>Q и S>P, то по Лемме1 для разбиений P и S получим: c1 £ c3 £ C3 для разбиений Q и S получим:

C3 £ C2 => c1£C2 (c(P)£C(Q))

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов.

На сайте allrefs.net читайте: Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов....

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Суммы Дарбу и их свойства

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Эквивалентность функций.
d - отношение эквивалентности Df: Пусть D - множество диф-мых на промежутке I функций F d G <=> F' = G' Df: Введем понятие отношения t: F t

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай простых корней)
P(x)/Q(x) - др/рац. функция над полем R, degP(x)<degQ(x) => дробь правильная. Если дробь неправильная => P = Q*q+r, P/Q = q+r/Q, где r/Q - правильная дробь Лемма:

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай кратных корней)
Лемма1: Пусть P(x), Q(x) над полем R[x] degP(x)<degQ(x); Q(x)=(x-z)kR(x) k³2, R(z)¹0, тогда $AÎR и P'(x) над R[x]: òP(x)/Q(x)dx=A/(x-z)k-1

Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции.
P - упорядоченное по возрастанию конечное мн-во (.) из [a,b] содержащих (.) a & b. P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn

Критерий интегрируемости
Из утверждения о том что для произвольных разбиений P & Q c(P) £ C(Q), зафиксировав Q получим, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху (одной из верхних сумм) => $ sup c(P) =

Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
Th: Если f ограничена и монотонна на [a,b], то f Î L[a,b]: Доказательство: P = {a = x0 < x1< x2 <

Среднее значение функции на отрезке.
Th: Пусть f, g Î L[a,b} и f(x) £ g(x) на [a,b], Тогда: a) £

И дифференцируемость. Существование первообразной у непрерывной функции.
f Î L[a,b], F(x) = , x Î [a,b] Th: Пусть f Î L[a,b], тогда F(x) =

Формула Ньютона-Лейбница
Th: Пусть f Î L[a,b] имеет первообразную F на (a,b), F непрерывна в точках a и b, Тогда = F(b)

Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Теорема о замене переменной: Пусть g монотонна на [a,b] и g’ Î C[a,b], f Î C[g(a),g(b)], тогда

Сходимость несобственного интеграла и ряда. Их взаимосвязь. Критерий Коши.
[a,b) b Î RÇ{¥} " b' < b f(x) Î L[a,b`] => F(x) = (a£x£b)

Абсолютная и условная сходимости. Теоремы сравнения.
У всех интегралов в b особенность Df:сходится абсолютно если

Интегральный признак сходимости ряда.
Интегральный признак сходимости ряда: f Î [o,x) x Î R+. Пусть f(x) монотонно стремится к 0 при x®+¥, Тогда следующие условия равносильны: 1)

Ряды Лейбница
S0...¥ aN, где aNaN+1 < 0, т.е. знаки aN и aN+1 противоположны Th: Пусть aNa

Степенные ряды. Область сходимости.Радиус сходимости и его вычисление.
S0...¥fN (x) D={x Î R: S0...¥fN(x) - сходится} Пример: S0...¥xN; N

Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте.
Df: A Í RN, xO Î A; xO - внутренняя точка A, если $R: OR(xO) Í A. AO - множество внутренних то

Предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывной функции на компакте.
f:RN ® RM (при m = 1 - это фунция от n переменных) f:D Î RN ® RM A Î RN - предел этой вектор функции, xO

Связанные множества. Теорема о промежуточном значении.
Df: D Í RN u:[a,b] ® RN, u - непрерывна на [a,b], u(x) ¹ u(x') при x ¹ x', u(a) = xO, u(b)=x1. При x ¹ x' T = {u(x

Дифференцируемость. Производные по направлению.
Df: Пусть Df - область определения функции f Î RN, f:Df®RM, xO Î DOf (DOf - множество внутренних точек), f - дифф

Поверхности уровня. Касательная плоскость.
Th: Пусть f:DÍR2®R и ¶2/¶x¶y, ¶2/¶y¶x - непрерывны в точке (x0,y0), тогда ¶2f(x0,y0)/