Из утверждения о том что для произвольных разбиений P & Q c(P) £ C(Q), зафиксировав Q получим, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху (одной из верхних сумм) => $ sup c(P) = I’. Аналогично (но фиксируя P) получаем, что множество верхних сумм Дарбу ограничено снизу (одной из нижних сумм) =>
$ inf C(Q) = I. " PÇQ: c(P) £ I £ I’£ C(Q)
Th: Пусть f ограничена на [a,b], следующие условия эквивалентны:
1) I = I’
2) " E>0 $ P: C(P) - c(P) < E
3) " E>0 $ d>0: dP < d => C(P) - c(P) < E
4) f Î L[a,b]
Доказательство:
2=>1:c(P) £ I £ I’ £ C(P) => 0 £ I’- I £ C(P) - c(P)
Переходим к пределам и учитывая что lim (C(P)-c(P)) = 0 (2), получим 0£lim(I’-I)£0. Поскольку I & I’ - const, то I’=I
1=>2: I=I’=T
" E>0 $ P: C(P) < T + E/2 (так как T = inf C(P))
" E>0 $ Q: c(Q) > T - E/2 (так как T = sup c(Q)) => -c(Q) < E/2 - T
Сложим C(P) < T + E/2 и -c(Q) < E/2 - T и получим: C(P) - c(Q) < E
3=>4: Требуется доказать: " E>0 $ d>0: dP<d => "M Î midP |s(P,M)-T|< E, где T=I=I'
" E>0 $ d>0: dP<d => C(P) - c(P) < E - (3). Известно что c(P) £ s(P) £ C(P) и что -C(P) £ -T £ C(P), сложим оба неравенства:
-C(P)+c(P) £ s(P)- £ C(P)-c(P) => |s(P)-T| £ C(P)-c(P), (3) C(P)-c(P) < E => |s(P)-T|<E
4=>3:$ T: " E>0 $ d>0: dP<d => " M Î midP |s(P,M)-T|<E/2
T-E/2 < s(P,M) < E/2+T
T-E/2 £ c(P) £ C(P) £ E/2+T => C(P) - c(P) < E
3=>2:Фиксируем P " E>0 $ d>0: dP<d => C(P) - c(P) < E, но это означает, что " E>0 $ P: C(P) - c(P) < E
2=>3: E>0 P' = {x’0<x’1<...<x’N} => C(P') - c(P') < E