рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Среднее значение функции на отрезке.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Среднее значение функции на отрезке.

Среднее значение функции на отрезке. - раздел Математика, Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов. Th: Пусть F, G î L[A,b} И F(X) £ G(X) На [A,b], ...

Th: Пусть f, g Î L[a,b} и f(x) £ g(x) на [a,b], Тогда:

a) £ ,

б) Если дополнительно $ c Î [a,b]: d(c)-f(c) > 0 и g(x)-f(x) непрерывна в точке c, то <

Доказательство:

a) h(x) = g(x) - f(x) ³ 0

-== S_1...N(g(m_I)-f(m_I))D(x_I) ³ 0 так как каждое слагаемое ³ 0 => £

б) Если h(c) > 0, то: если x Î " E (c-d,c+d)&[a,b] => |h(x)-h(c)| < E

Возьмем E = h(c)/2 => h(c)/2 < h(x) < 3h(c)/2

$ I=[d-d/2,d+d/2]: x Î I => h(x) > h(c)/2

- каждый интеграл в сумме ³ 0, т.к. если расписать их в суммы Римана все слагаемые будут больше 0 => если доказать, что хотя бы один из интегралов строго больше нуля => исходный интеграл строго больше нуля.

По пункту a)³, т.к.h(x)>h(c)/2, учитывая что = S_1...Nh(c)/2D(x_I) = h(c)/2*S_1...ND(x_I) = h(c)/2 > 0, получим ³>0 =>³>0=>->0 =><.

Th о среднем: Пусть f,g Î L[a,b], " x Î [a,b] d(x) ³ 0; m=inf f(x); M=supf(x), x Î [a,b], тогда $ l Î [m,M]:= l*

Доказательство: m £ f(x) £ M => mg(x) £ f(x)g(x) £ Mg(x) => m£ £ M

1)= 0 =>= 0 => берем l произвольно в частности можно и из [m,M]

2) > 0 => m£ £ M=>

m £ £ M

Возьмем l =- оно сущ. и опр. однозначно. Для такого l теорема верна => $ l Î [m,M]:= l*

Замечание: Если в теореме о среднем f - непрерывна на [a,b], то $ x’, x’’: f(x’) = m & f(x’’) = M => $ c Î (x’;x''): f(c) = l

Доказательство: Если функция непрерывна на [a,b], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на [a,b] => $ x’, x’’: f(x’) = m & f(x’’) = M. По теореме о среднем $ l Î [m,M] интеграл от f(x) равен l интегралам от g(x). По теореме о непрерывной функции $ c: l = f(c) причем c между x’ и x’’.

Частный случай теоремы о среднем:

g(x) = 1 =>= l= l(b-a) => l = 1/b-a * => l - среднее значение функции f на отрезке [a,b]

Геометрический смысл среднего значения: $ такое l что площадь прямоугольника (l x b-a) равна площади криволинейной трапеции.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов.

На сайте allrefs.net читайте: Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов....

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Среднее значение функции на отрезке.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Эквивалентность функций.
d - отношение эквивалентности Df: Пусть D - множество диф-мых на промежутке I функций F d G <=> F' = G' Df: Введем понятие отношения t: F t

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай простых корней)
P(x)/Q(x) - др/рац. функция над полем R, degP(x)<degQ(x) => дробь правильная. Если дробь неправильная => P = Q*q+r, P/Q = q+r/Q, где r/Q - правильная дробь Лемма:

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай кратных корней)
Лемма1: Пусть P(x), Q(x) над полем R[x] degP(x)<degQ(x); Q(x)=(x-z)kR(x) k³2, R(z)¹0, тогда $AÎR и P'(x) над R[x]: òP(x)/Q(x)dx=A/(x-z)k-1

Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции.
P - упорядоченное по возрастанию конечное мн-во (.) из [a,b] содержащих (.) a & b. P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn

Суммы Дарбу и их свойства
P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn = b} NI = sup f(x) x Î [xI-1,xI]

Критерий интегрируемости
Из утверждения о том что для произвольных разбиений P & Q c(P) £ C(Q), зафиксировав Q получим, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху (одной из верхних сумм) => $ sup c(P) =

Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
Th: Если f ограничена и монотонна на [a,b], то f Î L[a,b]: Доказательство: P = {a = x0 < x1< x2 <

И дифференцируемость. Существование первообразной у непрерывной функции.
f Î L[a,b], F(x) = , x Î [a,b] Th: Пусть f Î L[a,b], тогда F(x) =

Формула Ньютона-Лейбница
Th: Пусть f Î L[a,b] имеет первообразную F на (a,b), F непрерывна в точках a и b, Тогда = F(b)

Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Теорема о замене переменной: Пусть g монотонна на [a,b] и g’ Î C[a,b], f Î C[g(a),g(b)], тогда

Сходимость несобственного интеграла и ряда. Их взаимосвязь. Критерий Коши.
[a,b) b Î RÇ{¥} " b' < b f(x) Î L[a,b`] => F(x) = (a£x£b)

Абсолютная и условная сходимости. Теоремы сравнения.
У всех интегралов в b особенность Df:сходится абсолютно если

Интегральный признак сходимости ряда.
Интегральный признак сходимости ряда: f Î [o,x) x Î R+. Пусть f(x) монотонно стремится к 0 при x®+¥, Тогда следующие условия равносильны: 1)

Ряды Лейбница
S0...¥ aN, где aNaN+1 < 0, т.е. знаки aN и aN+1 противоположны Th: Пусть aNa

Степенные ряды. Область сходимости.Радиус сходимости и его вычисление.
S0...¥fN (x) D={x Î R: S0...¥fN(x) - сходится} Пример: S0...¥xN; N

Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте.
Df: A Í RN, xO Î A; xO - внутренняя точка A, если $R: OR(xO) Í A. AO - множество внутренних то

Предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывной функции на компакте.
f:RN ® RM (при m = 1 - это фунция от n переменных) f:D Î RN ® RM A Î RN - предел этой вектор функции, xO

Связанные множества. Теорема о промежуточном значении.
Df: D Í RN u:[a,b] ® RN, u - непрерывна на [a,b], u(x) ¹ u(x') при x ¹ x', u(a) = xO, u(b)=x1. При x ¹ x' T = {u(x

Дифференцируемость. Производные по направлению.
Df: Пусть Df - область определения функции f Î RN, f:Df®RM, xO Î DOf (DOf - множество внутренних точек), f - дифф

Поверхности уровня. Касательная плоскость.
Th: Пусть f:DÍR2®R и ¶2/¶x¶y, ¶2/¶y¶x - непрерывны в точке (x0,y0), тогда ¶2f(x0,y0)/