Система с одной степенью свободы. Разберем сначала общий случай действия любой возмущающей силы Pt на систему с одной степенью свободы, вызывающей вынужденные колебания. В качестве примера рассмотрим продольные колебания стержня, причем не будем принимать во внимание затухание. В произвольный момент времени отклонение центра массы m будет у – искомая функция времени.
Выделив груз, к кот-му приложена возмущающая сила Рt учтем наличие восстан-щей силы Руп и силы инерции IM. Составляем динам условие равновесия по методу перемещений: Подставляя выражение сил и деля все члены уравнения на m, находим
Мы получили дифференциальное ур-ние вынужд-ных незатух-щих колебании системы с одной степенью свободы. Здесь , где ω - частота собственных колебаний.
Рассмотрим теперь частный случай действия периодической синусоидальной силы (вертикальная составляющая центробежной силы от неуравновешенности двигателя):
где Рt - постоянная амплитуда силы; θ - частота изменения возмущающей силы.
Дифференциальное уравнение колебаний при подстановке значения Рt и обозначении будет - дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Общий интеграл этого дифференциального уравнения, как известно, равен
Решение удовлетворяет ДУ. Множитель при скобке правой части обозначим С: Решение, выражающее отклонение при действии периодической синусоидальной силы, представится так: Заметим, что первый член правой части с переменным множителем sinθt соответствует чисто вынужденным колебаниям с частотой самой возмущающей силы θ, а второй член с множителем вынужденным колебаниям с частотой собственных колебаний ω.