Теория прочности Мора

Все рассмотренные выше теории прочности базируются на фено­менологических подходах. О. Мор (1900 г.) подошел к рассматрива­емому вопросу с позиций систематизации экспериментальных дан­ных [1]. Для этого исследования использовано им же предложенное графическое представление напряженного состояния при помощи кругов.

На практике наиболее просто построение таких кругов осуществ­ляется для случаев растяжения, сжатия и сдвига при достижении напряжениями опасных (предельных) значений (рис. 8.2). На рисун­ке изображены лишь верхние части кругов Мора.

Осуществление испытаний для других случаев напряженного состояния ограничивается сложностью эксперимента. Особенно сложно получить положение точки С, характеризующей предельное состояние при всестороннем равномерном растяжении. Поэтому в качестве огибающей предельных кругов Мора используется пря­мая, касательная к кругам Мора при одноосном растяжении и сжа­тии.

Выражение для определения напряжения при использовании в качестве огибающей прямой линии, касательной к кругам Мора при сжатии и растяжении, можно получить графически (рис. 8.3).

Пусть исследуемое напряженное состояние характеризуется главными напряжениями о и <т₃, что отражено на рис. 8.3 полукру-

гом, очерченным жирной сплошной линией (промежуточное глав­ное нормальное напряжение а_г в теории Мора не учитывается). Если пропорционально увеличить все компоненты этого напряженного состояния, то при некоторых значениях о-] и а₃ образуется предель­ный полукруг ///, который коснется предельной огибающей в точке С_ь при этом

где п — коэффициент запаса прочности.

Луч, проведенный из точки О н касающийся исследуемого круга напряжений в точке А, будет, очевидно, касаться и предельного круга Ш в точке В.

Далее, из точки С проводим горизонтальную прямую, которая пересечет радиусы кругов / и // в точках ЕиО, При этом образуют­ся два подобных треугольника &CDE и AC_tTO, для которых спра­ведливо следующее отношение:

где отрезки DE и Л? являются разностями радиусов предельных кругов /, II и предельного круга:

Подставляя найденные выражения в (8.17), получим

 

левая часть которого определяет предельное напряженное состоя­ние. Исходное напряженное состояние определяется из (8.17) с уче­том (8.16) следующим эквивалентным напряжением:

 

Условие прочности при этом, с учетом (8.19), запишется в следу­ющем виде:

 

где k — отношение пределов текучести при растяжении и сжатии: для пластичных материалов

для хрупких мате­риалов

Формула Мора, в отличие от формул Сен-Венана и Мизеса, может быть уточнена после получения пре­дельных кругов для более сложных, чем растяжения и сжатие, случаев. Особенно важным является уточнение положения точки С (ряс. 8.2). Все это позволит более точно построить огибающую предельных кругов и уточнить формулу Мора (рис. 8.4).