ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Глава XII

ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В гл. III было установлено, что напряженное состояние в какой-либо точке тела полностью определяется одним главным напряжением при линейном… При возрастании действующей нагрузки главные напряжения будут соответствующим… Для пластичного материала за предельное принимается такое напряженное состояние, при котором начинают развиваться…

ПЕРВАЯ, ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Первая теория прочности (одна из старейших) основывается на гипотезе о том, что причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие нормальные напряжения. Обычно эту теорию называют теорией наибольших нормальных напряжений.

В соответствии с принятой гипотезой должно соблюдаться следующее условие:

(12.2)

где σ1 — величина наибольшего из главных напряжений для исследуемого напряженного состояния;

σ0 — предельное напряжение, полученное из опыта на одноосное растяжение.

При расчете по методу предельных состояний условие (12.2) запишется так [‡]:

(12.3)

где R — расчетное сопротивление.

Главный недостаток теории наибольших нормальных напряжений состоит в том, что ею не учитываются два других главных напряжения: σ2, σ3. В действительности же эти напряжения оказывают большое влияние на прочность материала. Так, например, при всестороннем (гидростатическом) сжатии цементного кубика он, не разрушаясь, выдерживает напряжения, во много раз превосходящие предел прочности. Аналогично ведут себя и другие материалы в тех же условиях.

Выводы данной теории подтверждаются опытом лишь при растяжении хрупких материалов, разрушение которых происходит путем отрыва одной части материала от другой без развития заметных пластических деформаций.

В настоящее время первая теория не применяется и имеет лишь историческое значение.

Вторая теория прочностиисходит из гипотезы о том, чтопричиной наступления предельного напряженного состояния в материале являются наибольшие удлинения.Эта теория получила названиетеории наибольших удлинений.

Для объемного напряженного состояния, когда главные деформации ε1 > ε2 > ε3, общее условие, отвечающее принятой гипотезе, запишется так:

(12.4)

где ε1 — расчетная величина наибольшего удлинения для исследуемого напряженного состояния;

ε0 — предельное значение относительного удлинения, полученное из опыта на одноосное растяжение.

При определении ε1 и ε0 используют известные зависимости Гука:

(а)

и

(б)

При этом условно считают, что зависимости (а) и (б) остаются справедливыми вплоть до наступления предельного напряженного состояния, что по существу отвечает хрупкому разрушению материала, которое происходит без заметных пластических деформации.

После подстановки в условие (12.4) зависимостей (а) и (б) получим

(в)

Неравенство (в) справедливо лишь при положительной левой части, которая в этом случае будет соответствовать наибольшему удлинению, что согласуется с принятой гипотезой.

Представляя левую часть неравенства (в) как расчетное напряжение σ_расч, получим расчетную формулу

(12.5)

Для плоского напряженного состояния, используя для главных напряжений выражение (3.13) [§], можно записать следующее условие:

(12.6)

Необходимо иметь в виду, что условия (12.5) и (12.6) применимы также лишь в тех случаях, когда величина σ_расч положительна.

Преимущество второй теории по сравнению с первой состоит в том, что ею учитывается влияние всех главных напряжений.

С помощью этой теории можно объяснить разрушение хрупких материалов (бетон, камень) при простом сжатии, когда торцы образцов, через которые передается давление, смазаны маслом или парафином. В этом случае, как было указано в гл. II, разрушение материала сопровождается образованием трещин, параллельных сжимающему усилию (см. рисунок 48, б), что объясняется развитием линейных деформаций, сопутствующих расширению материала в направлении, перпендикулярном оси образца.

Как и первая, вторая теория недостаточно подтверждается опытами и в большей степени оправдывается для хрупких материалов.

Третья теория прочностистроится исходя из гипотезы, что причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие касательные напряжения. Поэтому ей присвоено название теории наибольших касательных напряжений.

Так как экспериментально установлено, что пластические деформации сопровождаются сдвигами и соответствующими касательными напряжениями, то принятую гипотезу можно считать связанной с развитием заметных пластических деформаций.

Общее условие, которое отвечает данной теории, имеет вид

(12.7)

где — расчетная величина наибольшего касательного напряжения для исследуемого напряженного состояния;

— предельное значение касательного напряжения, определяемое из опыта на простое растяжение.

В случае объемного напряженного состояния при σ₁> σ₂> σ₃ наибольшее касательное напряжение определяется, как известно, полуразностью максимального и минимального главных напряжений:

(а)

напряжение находится из равенства

(б)

Таким образом, условие (12.7) можно записать так:

(в)

Обозначая левую часть неравенства как σ_расч, расчетную формулу запишем в виде

(12.8)

Дли плоского напряженного состояния условие (12.8) после подстановки в него соответствующих выражений главных напряжений запишется в виде

(12.9)

На практике нередко встречаются случаи, когда σ_у = 0. Положив тогда σ_z = σ и τ_zy = τ, получим

(12.10)

Основной недостаток третьей теории состоит в том, что в случаях объемного напряженного состояния ею не учитывается влияние главного напряжения σ2.

Теория наибольших касательных напряжений лучше всего подтверждается опытами с пластичными материалами, одинаково сопротивляющимися как растяжению, так и сжатию. Она достаточно широко используется при оценке их прочности.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ

При построении данной теории первоначально была предложена гипотеза, согласно которой за причину наступления предельного напряженного состояния… Условие, отвечающее такой гипотезе, записывается в следующем виде: U<U0 (12.11)

ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА

В теории Мора в отличие от изложенных теорий не рассматриваются отдельные гипотезы, а на основе экспериментальных данных устанавливается… В случае, когда напряжения σ1 и σ3 отвечают предельному напряженному… В качестве примера на (рисунке 303) изображены три предельных круга для материала, который был испытан на растяжение,…

ОБЪЕДИНЕННАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ

Напряжение, при котором происходит отрыв, обозначим σотр, а напряжение, соответствующее разрушению при сдвиге, — τраз. Примером хрупкого разрушения может служить разрушение чугунного стержня при… Исходя из сказанного первая и вторая теории предельных напряженных состояний могут быть отнесены к группе теорий,…

ПОНЯТИЕ 0 НОВЫХ ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ

Необходимо отметить, что помимо изложенных существует большое количество теорий, многие из которых не нашли достаточно широкого применения на… За последнее время появились новые теории, которые главным образом связаны с… При построении приведенных в предыдущих параграфах теорий составлялись условия наступления предельного напряженного…

Глава XIII

ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рисунок 308 При построении расчетной схемы тонкостенного стержня рассматривают его «срединную» поверхность, которая проходит через…

СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

Так, на рисунке 310, а, б показан стержень, нагруженный на концах моментами и работающий в условиях свободного кручения. В таком стержне расстояние… лежащими на любой образующей, до и после деформации остается неизменным. Отсюда вытекает, что на любом участке стержня все продольные волокна сохраняют свою первоначальную длину, их…

Глава XIV

РАСЧЕТ КРИВОГО БРУСА

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Рисунок 339 Рисунок 340 показаны примеры кривых брусьев: крюк подъемного крана, замкнутое кольцо, обод колеса, несущий брус арочного моста —…

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ КРИВОГО БРУСА

В условиях центрального растяжения (сжатия) работает круговой стержень под действием равномерной радиальной нагрузки и продольных сил, приложенных… Относительное удлинение всех волокон стержня, а, следовательно, и напряжения в… ε = const; σ = const.

ЧИСТЫЙ ИЗГИБ КРИВОГО БРУСА

На рисунке 344, а, б показан элемент бруса длиной ds с симметричным поперечным сечением. Ось Ох направим по нейтральной оси, вокруг которой… Эпюра абсолютных удлинений волокон показана на рисунке 344, в, а эпюра… Абсолютное удлинение на высоте сечения изменяется по закону прямой линии, а относительное — по закону кривой линии…

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ В КРИВОМ БРУСЕ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

При точном решении задачи необходимо исходить из условия (14.2). Для каждого типа поперечного сечения получится свое значение радиуса кривизны… Преобразуем выражение (14.2). Учитывая, что r + y = ρ; y = ρ – r,

НАПРЯЖЕНИЕ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ ДЕЙСТВИИ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА

(14.12) В этой формуле величина изгибающего момента должна быть найдена относительно… Пример. Рассмотрим пример расчета крюка, изображенного на рисунке 348, где Р = 2,5 тс. Поперечное сечение крюка можно…

Глава XV

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Однако во многих случаях проектирования инженерных сооружений обычных расчетов на прочность бывает недостаточно для того, чтобы получить полное… Выяснение того, что напряжения не превосходят расчетного сопротивления… Наряду с проблемой прочности существует проблема так называемой устойчивости сооружения или его элементов.

МЕТОД ЭЙЛЕРА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА

Наиболее универсальным является динамический метод, основанный на изучении колебаний системы вблизи заданного положения равновесия. Однако в курсах… Метод Эйлера основан на анализе разветвления возможных форм равновесия упругой… малых сжимающих силах прямолинейная форма стержня является устойчивой. При больших силах, превышающих некоторое…

ВЛИЯНИЕ СПОСОБОВ ЗАКРЕПЛЕНИЯ КОНЦОВСТЕРЖНЯ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ

(15.7) где μ — так называемый коэффициент приведенной длины, а величина μl… Свободная длина l0 может быть истолкована как некоторая условная длина шарнирно опертого стержня, имеющего такую же…

ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО

Поэтому естественно, что ее нельзя применять в случаях, когда критические напряжения больше предела пропорциональности. Для установления предела… Здесь - радиус инерции.

ПРАКТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

(15.17) Здесь N — сила, на которую рассчитывается стержень; Ркр — критическая сила;

Глава XVII

ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Часто в инженерной практике приходится встречаться с так назы­ваемой динамической нагрузкой, которая сравнительно быстро меняет свою величину или… С силами инерции в свою очередь связаны дополнительные напряжения и… На практике влияние динамической нагрузки, как правило, учитывается с помощью так называемого динамического…

УЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИИ ПРИ РАСЧЕТЕ ТРОСА

Nст = G + qz. При подъеме груза с ускорением α для определения натяжения каната… если ко всем точкам ее присоединит дополнительно силы и инерции.

РАСЧЕТЫ НА УДАР

Время удара измеряется в тысячных, а иногда и миллионных долях секунды, а сила удара достигает большой величины, например, действие кузнечного… На рисунке 401 показан график изменения силы удара падающего груза в… наибольшего значения. Вертикаль, проведенная через точку С, разделяет диаграмму на две части, соответствующие первой и…

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ

ξ = δ11[I + P(t)], где δ11 - прогиб от единичной силы, приложенной в месте прикрепленной… Заменяя силу инерции ее значением и перенося неизвестные в левую часть, после деления всех членов на mδ11…