ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ

Если на систему действует сила Р (t), изменяющаяся во времени по какому-либо закону, то колебания балки, вызванные действием этой силы, называют вынужденными. После приложения силы инерции балку в отклоненном состоянии можно рассматривать как находящуюся в равновесии (рис. 419). Перемещение ξ теперь уже нужно определить от двух сил — i и Р (t):

ξ = δ₁₁[I + P(t)],

где δ₁₁ - прогиб от единичной силы, приложенной в месте прикрепленной массы.

Заменяя силу инерции ее значением и перенося неизвестные в левую часть, после деления всех членов на mδ₁₁ получим

(17.16)

Интеграл этого уравнения состоит из двух частей: решения однородного уравнения и частного интеграла, зависящего от вида правой части.

Рассмотрим частный случай, когда внешняя сила представляет собой вибрационную (периодическую) нагрузку, меняющуюся по гармоническому закону с частотой θ,

Р (t) = P sinθt,

C учетом последнего равенства дифференциальное уравнение (17.16) примет вид

(17.17)

Интеграл однородного уравнения нам уже известен из решения, полученного в предыдущем параграфе. Частный интеграл найдем в следующем виде:

ξ₁ = Сsinθt.

Подставляя это выражение в уравнение (17.17), определим

Если учесть, что

то получим

Но так как Рδ₁₁ = ξ_ст – прогиб от статически приложенной силы Р, то

(17.18)

Таким образом, решение уравнения (17.17) имеет вид

(17.19)

Первое слагаемое этого выражения представляет собой собственные колебания, а второе описывает вынужденные колебания. Величины А

Рис. 419

и v определяют из начальных условий.

Так как собственные колебания в реальных балках быстро затухают, то рассмотрим только вынужденные колебания, которые происходят с частотой θ.

Наибольшее отклонение стержня от своего первоначального положения (т. е. амплитуда вынужденных колебаний) будет найдено, если принять sin θ = 1:

Для исследования значения динамического коэффициента

приведен график на рис. 420 абсолютного значения величины μ Из этого графика видно, что в том случае, когда частота вынужденных

колебаний θ приближается к частоте собственных колебаний φ, динамический коэффициент μ безгранично возрастает (при θ = φ μ→∞). Такое явление называется резонансом.

Если учесть затухание (силы внутреннего сопротивления), то вместо уравнения (17.16) получим следую­щее дифференциальное уравнение:

(17.20)

Уравнение вынужденных колебаний (17.20) отличается от уравнения собственных колебаний (17.12) не только наличием правой части, но и коэффициентом при первой производной dξ/dt. Вместо величины 2β₁, введенной в уравнение (17.12), принят коэффициент 2β₁.

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, гипотеза Фойгта не может быть безоговорочно принята при изучении колебаний упругих систем. Ее можно использовать при условии, что величина χ в формуле (17.11) не является постоянной, а зависит от частоты колебаний. Результаты теории и опыта будут в большей мере согласованы, если принять, что при собственных колебаниях χ = χ_φ = γ/2πφ, а при установившихся вынужденных колебаниях, совершающихся с частотой θ, χ = χ_θ = γ/2πθ (Здесь γ — логарифмический декремент затухания.)

Этим и объясняется то, что коэффициенты 2β и 2β₁ в уравнениях (17.12) и (17.20), учитывающие влияние сил сопротивления, различны.

Отношение двух коэффициентов β₁/ β будет такое же, как отношение χ_θ/ χ_φ:

β₁/ β = χ_θ/ χ_φ = φ/θ (17.21)

Частное решение уравнения (17.20), соответствующее чисто вынужденным колебаниям, может быть записано в виде

ξ = В₁sinθt + B₂cosθt. (17.22)

Подставляя это выражение в уравнение (17.20) и объединяя члены, содержащие sinθt и cosθt, получим

Это уравнение должно тождественно обращаться в нуль при любых значениях t. Данное условие будет выполняться, если коэффициенты при sinθt и cosθt приравнять нулю. В результате получим два уравнения с двумя неизвестными В1 и В2:

Решая полученные уравнения, найдем:

(17.23)

Далее уравнение вынужденных колебаний (17.22) удобно представить в виде

ξ = Вsin(θt + v₁), (17.24)

где В и v₁ — амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

Если учесть, что В sin (θt + v₁) = В sin θt cosv₁ + B cos θt sinv₁ то легко установить связь между постоянными:

B₁ = Bcosv₁; B₂ = Bsinv₁.

Возводя в квадрат левую и правую части этих равенств и складывая их, найдем

B² = B²₁ + B²₂.

Но после деления левых и правых частей друг на друга получим

tgv₁ = B₂/B₁.

Учтя равенства (17.23), окончательно имеем

и

Так как

то

где динамический коэффициент μ определится равенством

(17.25)

Используя равенства (17.21) и (17.15), найдем

Подставляя величину β₁ в выражение (17.24), получим окончательную формулу для динамического коэффициента

(17.26)

График изменения динамического коэффициента, построенный по этому выражению, имеет вид, показанный на рис. 421. Положение каждой кривой зависит от декремента затухания γ. Таким образом,

в реальных балках в момент резонанса динамическийкоэффициент не будет равен бесконечности, но тем не менее

 

Рис. 421 Рис. 422

 

он достигает очень больших значений. Поэтому резонанс весьма опасен для сооружений и его нельзя допускать.

Пример. Рассмотрим пример исследования вынужденных колебаний (рис.422). Балка имеет двутавровое сечение № 16 (Jх = 873 см⁴). Пролет балки l = 3м; вес груза на конце G = 300 кгс. Найти наибольшие напряжения в заделке, если на груз действует вибрационная сила Р (I) = Ро sin θt; Po = 100 кгс, θ = 15 сек^-1, Массой балки я силами сопротивления пренебрегаем.

Для определения частоты собственных колебаний

находим массу:

и прогиб конца балки от единичной силы

Подстановка значений m и δ₁₁ дает

Динамический коэффициент равен

Момент в заделки

М = 300*300 + 100*300*1,51 = 135300кгс*см.

Вычисляем момент сопротивления: W = 873:8 = 109 см³ и находим максимальные напряжения:

σ = 135300:109 = 1241 кгс/см².

Вопросы для самопроверки

1. Какие нагрузки называются статическими и какие динамическими?

2. В чем заключается принцип Даламбера?

3. Как определяется интенсивность погонной инерционной нагрузки?

4. Укажите примеры динамических задач, при решении которых можно не учитывать влияние деформаций системы на распределение инерционных сил.

5. Как определяется интенсивность инерционных центробежных сил, возникающих при равномерном вращении стержневой системы?

6. Какое явление называется ударом и результатом чего оно является?

7. Какая теория лежит в основе теории удара, рассматриваемом в курсе сопротивления материалов?

8. Что называется коэффициентом динамичности при ударе?

9. Что кладется в основу вывода формул для определения перемещений при ударе?

10. Выведите формулу для определения динамического коэффициента в случаи, когда массой системы, подвергающейся удару, можно пренебречь?

11. Как учитывается в выражении динамического коэффициента масса упругой системы, подвергающейся удару? Выведите соответствующую формулу.

12. Что такое «внезапное действие нагрузки» и чему равен динамический коэффициент при таком действии?

13. Как определяется перемещения и напряжения при ударе?

14. Применение, каких конструктивных мероприятий можно уменьшить напряжения при ударном действии нагрузки?

15. Зависят ли напряжения при ударе от модуля упругости материала системы, подвергающейся удару?

16. Как определяется динамический коэффициент при ударе горизонтально движущимся телом по упругой системе в случаях, когда массой системы можно и когда нельзя пренебречь?

17. Как определяется динамический коэффициент при ударе, вызванной внезапной остановкой барабана лебедки, опускающий груз на канате?

18. С какой целью канаты шахтных подъемников и лифтов прикрепляются к кабине не непосредственно, а с помощью пружин?

19. Какие колебания называются свободными ( или собственными)?

20. Какие колебания называются вынужденными?

21. Какие силы действуют на системы при свободных и при вынужденных колебаниях?

22. Что называется системой с одной степенью свободы?

23. Выведите дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы.

24. Напишите уравнение свободных колебаний системы.

25. Что такое частота и период свободных колебаний и по каким формулам они определяются?

26. Что такое амплитуда колебаний?

27. Выведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы.

28. Напишете уравнение вынужденных колебаний системы.

29. По какой формуле определяется амплитуда вынужденных колебаний системы?

30. Какое явление ( при колебаниях ) называется биением и следствием чего он является?

31. Какой вид имеет формула динамического коэффициента (при вынужденных колебаниях без учета сопротивлений) и как оно зависит от отношения частот φ/ω?

32. Что такое резонанс и в чем заключается его опасность?

33. Как определяется динамические напряжения при вынужденных колебаниях?

34. Какие сопротивления имеют место при колебаниях?

35. Как отражается наличие сопротивлений на свободных колебаниях системы?

36. Какой вид имеет формула динамического коэффициента при наличии сопротивлений и как он зависит от отношения частот φ/ω и от величины сопротивлений ( от коэффициента α)?

37. Как можно учесть массу упругой системы при расчете на колебания?

[*] Постановка и проведение таких опытов подробно описаны в гл. II.

[†] См.гл. II, §20.

[‡] В том случаи, когда наибольшее по абсолютному значению будет сжимающее напряжение [σ₃], в условии (12.3) вводят σ_расч. = [σ₃] и соответствующее расчетное сопротивление.

[§] См. гл. III, §24.

[**] См. гл. III, § 33, формула (3.50).

[††] Опыты показывают, что ошибка от неучета напряжения σ₂ не превышает 10-15%.

[‡‡] Идея этой теории была высказана в 1936 г. проф. Н.Н. Давыденковым и в дальнейшем развита Я.Б. Фридманом.

[§§] Здесь сохранена форма изложения Ю.И. Ягна, который исходил из метода допускаемых напряжений.

[***] Cм. гл. VII, §52, формула (а)

[†††] Ось Оz направлена по касательной к оси бруса, а ось Оу совпадает с осью симметрии сечения (рисунок 340).

[‡‡‡] Знак минус взят потому, что при выбранных осях координат кривизна отрицательная, а момент положительный.

[§§§] Различают две фазы удара. В первой фазе центры тяжести соударяемых тел сближаются, а сила взаимодействия между телами возрастает, достигая максимального значения в момент наибольшего сближения тел, когда скорость относительного движения обращается в нуль.

Во второй фазе (фазе восстановления) центры тяжести тел удаляются друг от друга, силы взаимодействия уменьшаются, обращаясь в нуль, в конце удара, когда прекращается контакт тел, или в постоянную величину, равную весу падающего груза, если удар является абсолютно неупругим.

[****] Такой расчет справедлив, когда масса падающего груза значительно больше массы стержня.