Линейные свойства проекций.

I.Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию этого вектора:

{Доказательство следует из подобия. Необходимо рассмотреть 2 случая: λ > 0 и λ < 0}

II.Проекция суммы векторов сумме проекций этих векторов:

{Для доказательства следует использовать св.2 величин отрезков}

Определение 3.Линейной комбинацией векторов а₁,…,а_п называется сумма следующего вида:, где все коэффициенты линейной комбинации.

(В общем случае, а_i − элементы некоторого множества, которые можно складывать и умножать на действительные числа)

Используя понятие линейной комбинации, можно оба линейных свойства проекций записать одной формулой: : проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

 

§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Определение 1.Система векторов {a₁,…,a_n} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ₁,…,λ_n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 2.Система векторов {a₁,…,a_n} называется линейно независимой, если ее линейная

комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами: .

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1(необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Векторы а₁,…,a_n – линейно зависимы когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: {a_k} – л.з. ): Пусть, для определенности,

, т.е. а₁ − линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m – л.к.): система лин. зав.}

Теорема 2.Если один из векторов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{0a₁ + … + 0a_n-1 +}

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{}