Свойства смешанного произведения.

1. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих

векторах: {Так как

то модуль проекции с на него равен h }

2. (Н. и д. условие компланарности) Три вектора компланарны т. и т.т., когда их смешанное

произведение равно нулю. {доказательство следует из св – ва 1.}

3. (В правой части равенства сначала, естественно, выполняется векторное

произведение) { доказательство так же следует из св – ва 1}

Из последнего свойства следует, что знаки можно ставить в любом порядке. Поэтому

смешанное произведение обозначают символом abc.

Для записи смешанного произведения в координатах лучше всего использовать форму

Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменить первую строку на строку координат вектора а , то при разложении определителя

по первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий. Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеем

следующую формулу:

Пример. Исследовать векторы a = (3,1,−2), b = (2,−1,4) и c = (7,−1,6) на линейную зависимость.

{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,

вычислим их смешанное произведение: векторы линейно зависимы}