рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теория вероятности

Теория вероятности - раздел Математика, Федеральное Агентство По Образованию   Государственное...

Федеральное агентство по образованию

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

инженерно-экономический университет»

 

ЗАОЧНОЕ ОБУЧЕНИЕ
Кафедра высшей математики

 

 

МАТЕМАТИКА

Методические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной работы № 3 для студентов заочной формы обучения

Санкт-Петербург

редакционно-издательским советом СПбГИЭУ в качестве методического издания  

Содержание

1. Общие положения……………………………………………...4

2. Методические указания к изучению дисциплины.…………..4

3. Методические указания к выполнению заданий № 1- № 4

Комментарии к задаче № 1

§1. Случайные события. Основные понятия…………………….5

§2. Случайные события. Операции………………………………6

§3. Классическое определение вероятности……………………..6

§4. Примеры задач на классическую вероятностную схему……8

§5. О статистической и геометрической вероятностях…………9

§6. Простейшие свойства вероятностей………………………..10

§7. Условные вероятности. Независимость событий………….11

§8. Вероятность наступления хотя бы одного события……….12

§9. Формула полной вероятности………………………………14

§10. Формула Байеса……………………………………………..16

Комментарии к задаче № 2

§11. Повторные независимые испытания………………………17

§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы Бернулли…………………………………………………………..19

Комментарии к задаче № 3

§13. Случайные величины дискретного типа…………………..22

§14. Функция распределения…………………………………….23

§15. Математическое ожидание случайной величины

дискретного типа…………………………………………………24

§16. Дисперсия случайной величины…………………………..26

§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения…26

Комментарии к задаче № 4

§18. Случайные величины непрерывного типа…………………28

§19. Нормальный закон распределения и его характеристики……………………………………………………30

§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин……………………………………………………………31

4. Методические указания к выполнению задания № 5……….32

5. Контрольные задания № 1- № 4.……………………………...53

6. Контрольные задания № 5.……………………………………71

7. Выбор варианта. Требования к оформлению контрольной работы.…………………………………………..79

8. Список литературы……………………………………….…...80

Приложение 1 Таблица случайных чисел…………….………...81

Приложение 2 Нормированная функция Лапласа.………….………83

Приложение 3 Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения .….……..85

Приложение 4 Критические точки распределения ...………86

Приложение 5 Содержание дисциплины..……………………..87

Приложение 6 Образец оформления титульного листа контрольной работы.…………………………………………….90

Приложение 7 Перечень контрольных вопросов для

проверки знаний по дисциплине.……………………………….91

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Теория вероятностей опирается на предшествующие разделы математики, как на курс средней школы, так и на разделы, изучавшиеся на 1 курсе (множества,… Студенты 2 курса, имеющие зачтенные контрольные работы № 3 и № 4, допускаются…  

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Изучение дисциплины следует начать с теоретической части данных методических указаний. Поскольку методические указания не являются учебником и теоретический материал здесь изложен кратко, полезно обратиться к учебникам, перечисленным в списке литературы.

Для изучения дисциплины в общепринятом логическом порядке полезно сверяться с Приложением 5 данного издания.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ЗАДАНИЙ № 1 - № 4

КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 1

 

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности некоторых условий S может либо произойти, либо не произойти. Пример: событие А1… Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет… Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении совокупности событий S. Пример: событие…

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА КЛАССИЧЕСКУЮ

ВЕРОЯТНОСТНУЮ СХЕМУ

Каждому из шести исходов при броске первой кости соответствует шесть исходов, получающихся при броске второй кости, значит, всего получится 36… . 2. В урне 10 белых и 12 черных шаров, вынимают 3 из них. Какова вероятность того, что среди них ровно 2 черных?

О СТАТИСТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

ВЕРОЯТНОСТЯХ

Относительная частота события А - это отношение числа испытаний, в которых событие фактически появилось (благоприятствующих А) к общему числу… Если классическая вероятность вычисляется до опыта, то относительная частота -… Заметим, что когда в задаче говорится, что “вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7”, то речь идет о…

УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ

Условная вероятность Р(В / А) = РA(В) - это вероятность осуществления события В при условии, что событие А уже произошло (причем последнее не… Для краткости эта величина называется “вероятностью события В при условии А”. Заметим, что для величины Р(В / А)…

КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 2

ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Пусть проводится n последовательных испытаний. Предположим, что эти испытания независимые, т.е. вероятность осуществления очередного исхода не… Простейшими примерами здесь могут служить: последовательное бросание монеты (с… Я. Бернулли вычислил вероятность того, что в n последовательных “испытаниях Бернулли” произойдет ровно k “успехов”

КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 3

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНОГО ТИПА.

Cлучайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное числовое значение из заранее известной…   Пример 1. Пусть Х1 - число “орлов”, выпавших при двух бросках симметричной монеты. Х может принимать значения 0, 1 или…

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Если F(x) = P(X < x), то функция F(x) называется функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины Х, т.е. функция… Из определения сразу следуют несколько свойств F(x): F(- ¥) = 0, F(+ ¥ ) = 1;

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНОГО ТИПА

Математическое ожидание - важнейшая “характеристика положения” случайной величины. Для дискретной величины она вычисляется по формуле М(Х) = x1 · p1 + x2 · p2 + ... + xk · pk (+...) = , где x1, x2, ... , xk, ... - возможные значения случайной величины (верхняя строка таблицы), p1, p2, ..., pk, ... - их…

ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Дисперсия - важнейшая «характеристика рассеивания» случайной величины. Рассеивание оценивается относительно среднего значения случайной величины Х -… D(X) = M(Y2)=M((X - M(X) )2). Для вычисления дисперсии используют формулу

БИНОМИАЛЬНЫЙ И ПУАССОНОВСКИЙ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Биномиальное распределение связано с повторными независимыми испытаниями и формулой Бернулли. Оно задается фиксированным числом испытаний n и… 1. все n испытаний абсолютно одинаковы; 2. результаты разных испытаний не зависят друг от друга;

Числовые характеристики биномиального распределения.

1. математическое ожидание равно произведению числа испытаний n на вероятность «успеха» в одном испытании p: М(Х)= np;

2. дисперсия равна произведению числа испытаний n на вероятность «успеха» в одном испытании p и на вероятность «неудачи» q: D(X)= npq.

 

Распределение Пуассона.

· Автоматическая телефонная станция получает в среднем за минуту а вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит ровно m… · Автодорожная инспекция регистрирует количество аврий за неделю на… Аналогичные примеры можно привести не только для временных интервалов (минута, неделя), но и при учете дефектов…

Числовые характеристики распределения Пуассона.

Математическое ожидание равно дисперсии и равно параметру распределения а: М(Х)= а, D(X)= а.

 

 

КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 4

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ НЕПРЕРЫВНОГО ТИПА.

Если возможные значения случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток <a,b> Ì R(быть может, и всюось), то табличный способ… Часто по условию задачи задают именно плотность распределения, зная которую… F(x) = F(x) - F(- ¥ ) =

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Нормальный (гауссовский) закон распределения задается плотностью распределения по формуле   , - ¥ < x < +¥

ДРУГИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Кроме нормального закона есть и другие случайные величины, часто встречающиеся в приложениях. Приведем некоторые из них. Для равномерного закона плотность вероятности и функция распределения задаются… , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ № 5

Поскольку число наблюдений конечно, их результаты можно записать в таблицу аналогично дискретной случайной величине, только в нижней строке не…  

Типовой пример

 

Получены статистические данные (N=500) зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см.

 

Таблица 1

Статистические данные типового примера

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
Y

…………..

 

N 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500
X
Y

 

Требуется:

1 часть.

1) произвести выборку из 200 значений;

2) построить эмпирическую функцию распределения, полигон, гистограмму для случайной величины Х;

3) построить точечные и интервальные оценки для мат. ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;

4) сделать статистическую проверку гипотезы о законе распределения случайной величины Х;

часть 2.

1) нанести на координатную плоскость данные выборки (x;y) и по виду корреляционного облака подобрать вид функции регрессии;

2) составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;

3) вычислить коэффициент корреляции;

4) получить уравнение регрессии;

 

Решение.

1) Произведём из генеральной совокупности N=500 выборку n=200 значений. Для этого воспользуемся таблицей случайных чисел (Приложение А). Выберите столбец, номер которого соответствует месяцу Вашего рождения. В этом столбце отсчитайте порядковый номер даты дня рождения. В полученном случайном числе определите номера ещё трёх столбцов. Для данного примера выбрана дата 31 декабря. В 12 столбце определили 31 номер случайного числа. Это число 0436. Значит выбранными будут столбцы №12;4;13;16. (№12 – месяц Вашего рождения, №4 – первая или вторая цифра в случайном числе, которая не использовалась, №13 – третья цифра в случайном числе +10, №16 – четвёртая цифра в случайном числе +10). Если цифры повторяются, то нужно взять со3седние номера. Например, случайное число во втором столбце - 4422. Нужно выбрать номера 2,4,12,13.

Для осуществления выборки берутся последние три цифры в случайном числе, которые определяют порядковый номер выборочного значения. Если в выборке встретился номер, которого нет в генеральной совокупности, то необходимо вычислить разность между этим числом и 500. Если полученный номер уже выбрали, то необходимо выбрать следующий за ним номер.

Для представленного примера получилась выборка:

 

Таблица 2

Выборочные данные X и Y

 

N 106 493 66 201 274 158 223 336 362 162 96 20
X
Y

 

N 288 251 257 152 279 478 86 439 368 203 271 395
X
Y

 

N 396 94 305 341 12 128 492 407 172 87 441 29
X
Y

 

N 140 59 70 453 487 447 105 232 95 456 80 225
X
Y

 

N 147 101 373 51 343 355 195 463 260 183 326 282
X
Y

 

N 139 483 399 467 266 372 356 290 241 273 450 329
X
Y

 

Окончание таблицы 2

 

N 469 423 242 475 168 365 107 428 367 457 224 199
X
Y

 

N 404 363 192 109 429 60 13 291 400 337 100 187
X
Y

 

N 88 292 283 52 45 358 252 62 130 286 361 184
X
Y

 

N 79 371 378 419 307 56 374 169 43 298 239 145
X
Y

 

N 325 65 153 375 9 340 142 193 261 116 26 253
X
Y

 

N 61 202 440 21 200 221 332 275 287 108 468 103
X
Y

 

N 240 110 424 414 296 284 83 435 81 54 397 134
X
Y

 

N 303 430 34 144 277 451 179 472 342 293 327 448
X
Y

 

N 154 438 297 219 196 204 230 258 262 213 89 357
X
Y

 

N
X
Y

 

N 98 126 265 443 82 110 432 479
X
Y

Составим ранжированный (по увеличению) ряд для случайной величины Х.

Таблица 3

Ранжированный ряд случайной величины Х

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

 

 

Окончание таблицы 3

 

X
Y

 

X
Y

 

X
Y

Cоставим новую таблицу, в которой отразим частоты появления случайных величин и относительные частоты .

Таблица 4

Дискретный вариационный ряд

  i …   i …  

Таблица 5

Интервальный вариационный ряд

=1   2) После составления вариационного ряда необходимо построить функцию распределения выборки или эмпирическую функцию…

Таблица 7

Дискретный вариационный ряд

      Рис.1    

Таблица 10

Корреляционная таблица

 

  Y/X
                                           
                                           
                                         
                                         
                                           
                                       
                                       
                                   
                                 
                                 
                           
                               
                                   
                             
                             
                               
                           
Окончание таблицы 10
                             
                         
                                 
                                 
                                   
                             
                                           
                                       
                                         
                                       
                                         
                                           
                                           
                                           
                                           
                                         
                                             
                                           

 
 

Рис.4

Для случайной величины Y, используя (1), получим h=2, число интервалов равно 13. Результаты внесём в таблицу со сгруппированными данными №11.

Находим средние значения , по формулам:

 

, (22)

, (23)

, (24)

. (25)

 

149,5*86+155,5(82+…+90)+…+188,5*104=2986101

 

Используя формулы:

, (26)

, (27)

 

получим

 

=,=

 

 

Таблица 11

Сгруппированные данные выборки

 

   
  XY 149,5 152,5 155,5 158,5 161,5 164,5 167,5170,5173,5 170,5 173,5 176,5 179,5 182,5 185,5 188,5
                   
             
           
         
           
     
             
                 
                     
                     
                         
                             
                         
   

 

4) Вычисляем выборочный коэффициент корреляции по формуле:

. (28)

=

Принято считать, что если 0,1<<0,3 – связь слабая, если 0,3<<0,5 – связь умеренная, если 0,5<<0,7 – связь заметная, если 0,7<<0,9 – связь высокая, если 0,9<<0,99 – связь весьма высокая.

Для данного примера связь между X и Y умеренная.

Затем получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде:

(29)

и выборочное уравнение линейной регрессии X на Y :

. (30)

и

или

Вычисления сумм рекомендуем проводить с помощью пакетов прикладных математических программ (сегодня их существует много).

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 1-№ 4

Вариант 1.

1. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В и С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%.

1) Какова вероятность, что взятая наугад деталь была получена от фирмы А?

2) Какова вероятность, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А?

2. Накануне выборов 40% населения поддерживают «Партию квадратов», 40% - «Партию Кругов» и 20% еще не определились во мнении. Какова вероятность того, что, по крайней мере, половина из шести наудачу выбранных избирателей оказывают доверие «Партии квадратов»?

3. Имеется 8 изделий, из которых 3 дефектных. Для контроля взято наудачу 3 изделия. Случайная величина Х – число дефектных изделий в выборке.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Фирма «Клубок ниток» производит вязальные спицы. Наиболее популярны размеры

 

  Диаметр (мм) Точность (мм)
Номер 10 3.25 ± 0.125
Номер 11 3.00 ± 0.125
Номер 12 2.75 ± 0.125

 

«Клубок» производит нарезку игл из проволоки и их дальнейшую обработку. В результате чего средний диаметр заготовок становится 3.10 мм, а его среднее квадратическое отклонение ­ 0.10 мм. Допустим, значение диаметра подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства спиц №11, учитывая, что дальнейшая обработка не изменяет диаметр заготовок.

 

Вариант 2.

1. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% пачек накладных были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5% неправильно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неправильно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана не соответствующей стандартам?

2. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наудачу из этих десяти три накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что одна из них окажется ошибочной, а две других – нет? Что все три окажутся правильными?

3. Вероятность досрочно сдать экзамен на «5» для каждого из четырех сдающих студентов равна 0,6. Случайная величина Х – число студентов ( из этих четырех ), сдавших этот экзамен на «5».

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P().

 

Вариант 3.

1. Нефтяная компания, изучив данные геологоразведки, оценивает вероятность обнаружения нефти в некотором районе как 0,3. Из предыдущего опыта подобных работ известно, что если нефть действительно должна быть обнаружена, первые пробные бурения дают положительные образцы с вероятностью 0,4. Если оказалось, что первые бурения дали отрицательный результат, какова вероятность того, что нефть, тем не менее, будет обнаружена в данном районе?

2. Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта – 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?

3. В программе экзамена 45 вопросов, из которых студент знает 30. В билете 3 вопроса. Случайная величина Х – число вопросов билета, которые знает студент.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Ошибка измерения высоты полета гидрометеорологического спутника относительно наземной станции подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратическим отклонением, равным 1 км. Ошибка принимает отрицательное значение, если измеряемая высота слишком мала и положительное значение, если измеряемая высота слишком велика. Найти вероятность того, что а) ошибка будет больше чем +0.75 км; б) значение ошибки будет заключено в пределах между + 0.10 км и + 0.60 км; в) ошибка будет меньше чем – 1.25 км.

Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта – 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?

 

Вариант 4.

1. Среди студентов некоторой группы 2/5 юноши и 3/5 девушки. Половина студентов – юношей данной группы моложе 21 года, среди студенток – девушек моложе 21 года – 2/3. Чему равна вероятность того, что 1) случайно выбранный учащийся старше 21 года и 2) случайно выбранный учащийся, возраст которого меньше 21 года, - это девушка.

 

2. Экзамен на водительские права по правилам дорожного движения содержит 20 вопросов с тремя вариантами ответов в каждом. Для сдачи экзамена необходимо ответить правильно как минимум на 19 вопросов. Если будущий водитель выбирает ответы, полагаясь исключительно на удачу, то какова для него вероятность сдать экзамен?

3. Бросают две игральные кости. Случайная величина Х – модуль разности числа выпавших очков.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P().

 

Вариант 5.

1. Отдел закупок женского платья большого столичного торгового комплекса приобретает 20% своего товара у фабрики А, 30% у фабрики Б и оставшиеся 50% у разных мелких поставщиков. К концу сезона распродается 80% продукции фабрики А, 75% продукции фабрики Б и 90% продукции мелких поставщиков. Какова вероятность, что платье, оставшееся непроданным в конце сезона, было произведено на фабрике А?

2. Известно что 85% деревьев, высаживаемых фирмой «Флора-дизайн» приживается. Фирма получила заказ на озеленение внутреннего двора нового дома, в котором должна посадить 10 молодых берез. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока фирме придется заменить

а) три засохших саженца?

б) не более двух?

в) ни одного?

3. Зеленщик покупает персики большими партиями. Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов будут подпорчены. Для проверки качества зеленщик выбирает 5 персиков. Случайная величина Х – число подпорченных фруктов среди выбранных.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность того, что зеленщик купит данную партию персиков, если для этого среди выбранных 5 персиков должно быть не более двух подпорченных.

4. Средний срок службы аккумуляторной батареи мобильного телефона нового поколения ‑ 1000 часов, его среднее квадратическое отклонение ­ 100 часов. Действует нормальный закон распределения. Найти вероятность того, что аккумуляторная батарея случайно выбранного мобильного телефона выйдет из строя а) через 1050 часов работы; б) через 750 часов; в) не ранее, чем через 850 часов, но не позднее, чем через 1150 часов.

 

Вариант 6.

1. Розничная сеть имеет три магазина. На долю главного магазина приходится 50% продаж, тогда как на долю двух пригородных магазинов – 30% и 20%. Процент магазинных краж для этих магазинов составляет 1%, 0,8% и 0,75% соответственно. Какова вероятность, что украденная вещь находилась в продаже в главном магазине сети?

2. Лист экзаменационного тестирования содержит 10 вопросов. На каждый вопрос предлагается 5 ответов, среди которых только один верный. Если студент выбирает ответы случайным образом, какова вероятность того, что правильными будут а) ровно половина ответов? б) не менее восьми ответов? в) не более одного?

3. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятности отказа для них 0,2, 0,3, 0,1 соответственно. Случайная величина Х – число отказавших приборов.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(0<X<5).

Вариант 7.

1. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад накладную и просит проверить. При условии того, что обучающийся идентифицирует неправильную накладную с вероятностью 0.8, а правильную накладную признает ошибочной с вероятностью 0,05, чему равна вероятность того, что выбранная накладная – ошибочная.

2. Исследование ископаемых частиц пыльцы растений, найденных в разных слоях донных осадков большого озера, обычно дает информацию о типичной растительности, окружавшей озеро в то время, когда формировался данный слой. Доля частиц пыльцы хвойных деревьев в донных осадках составляет 0.6. Если на анализ поступили 10 частиц пыльцы, какова вероятность того, что а) ровно пять, б) не более двух из них окажутся принадлежащими хвойным деревьям?

3. Обрыв произошел равновероятно на одном из 5 звеньев телефонной линии. Монтер обследует их последовательно до обнаружения обрыва. Случайная величина Х – число обследованных звеньев.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Пилорама «Стружкин и компания» производит и продает сухие доски. Наиболее популярные размеры дюймовой осиновой шлифованной доски

 

  Длина (м) Точность (м)
Номер 4 3.25 ± 0.125
Номер 5 3.00 ± 0.125
Номер 6 2.75 ± 0.125

 

На пилораме сушат сырые доски, после чего шлифуют их. Средний размер поступающих сырых досок (заготовок) 3м 10см, его среднее квадратическое отклонение ­ 10см. Допустим, длина заготовок подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства досок №5, учитывая, что сушка и шлифовка не изменяют длины заготовок, и дальнейшая обработка не включает распил досок по длине.

 

Вариант 8.

 

1. В школе обучается одинаковое количество мальчиков и девочек. У восьмидесяти процентов девочек и у тридцати процентов мальчиков длинные волосы. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик с длинными волосами ‑ мальчик?

2. Вероятность того, что пенициллин вылечит бактериальную инфекцию определенного типа, равна 75%. В течение небольшой эпидемии терапевт назначил антибиотик 8 больным. Какова вероятность того, что по крайней мере 6 из них вылечатся?

3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В ­ случайной величиной У и по проекту С ­ Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта

1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

 

Х -500 -200
р 0.1 0.25 0.3 0.25 0.1

 

У -100
р 0.1 0.25 0.3 0.25 0.1

 

Z -500 -200
р 0.01 0.025 0.93 0.025 0.01

 

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P().

 

Вариант 9.

1. Предприниматель производит одинаковые детали на двух производственных линиях. Две пятых продукции сходит со старой линии, при этом 10% выпуска признается браком. Остальные три пятых продукции производятся на новейшей линии, для которой процент брака равен лишь 4%. Какова вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь была выпущена на старой производственной линии?

2. Известно, что 60% щенков собак определенной породы имеют черные глаза. Цвет глаз одного щенка не зависит от цвета глаз другого. Какова вероятность того, что в помете из девяти щенков по крайней мере одна треть будет иметь черные глаза?

3. Студенты Артемов и Белов стоят в очереди в раздевалку. Всего в очереди 6 человек. Случайная величина Х – число студентов, стоящих между ними.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-10<X<3).

 

Вариант 10.

1. Фирма собирается выпускать новый товар на рынок. Подсчитано, что вероятность хорошего сбыта продукции равна 0.6; плохого ‑ 0.4. Компания собирается провести маркетинговое исследование, вероятность правильности которого 0.8. Как изменятся первоначальные вероятности уровня реализации, если это исследование предскажет плохой сбыт?

2. Испорченный консервный аппарат неправильно запечатывает банку крышкой в одном случае из шести. Если инспектор выберет случайным образом 2 банки вышедшие из этого испорченного аппарата для проверки, какова вероятность, что поломка останется незамеченной? Если выбраны для проверки 4 банки, какова вероятность того, что по крайней мере 2 из них будут иметь плохие крышки?

3. Частный предприниматель сдает в наем 4 автомобиля. Средний спрос в будний день составляет 2 автомобиля. В году 312 будних дней. Определить вид распределения случайной величины Х – числа автомобилей, востребованных в течение буднего дня. Найти математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график функции распределения y=F(x) для значений х≤5. Найти число будних дней, в течение которых спрос превысит предложение (дробное число округлить в большую сторону).

4. На автозаправочной станции показания автомата округляются до ближайшего целого числа литров бензина. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания автомата. Найти вероятность того, что очередной клиент недополучит от 0,1 л до 0,3 л бензина.

 

Вариант 11.

1. Согласно оценке эксперта участок земли близ населенного пункта N окажется нефтеносным с вероятностью 0.2 и пустым с вероятностью 0.8. Потенциальный инвестор решил заказать дополнительное исследование. Нефтедобывающая компания, организующая это специфическое исследование, оценивает в 90% надежность подтверждения нефти в том случае, когда нефть есть, и в 70% надежность отрицания наличия нефти если нефти нет. Найти вероятности нефтеносности участка
1) в случае подтверждающего нефть результата исследования;

2) в случае отрицающего нефть результата исследования.

2. Совет директоров компании состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры?

3. Известно что 20 % собранных шампиньонов контроль отправляет на переработку в консервное производство. На конвейер поступили пять грибов. Случайная величина Х – количество шампиньонов (из этих пяти штук), отправленных в переработку. Определить тип распределения случайной величины.

а) Составить таблицу распределения Х.

б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

в) Построить график функции распределения y = F(x)

г) Найти вероятность P(X>3).

4. Известно, что до реорганизации телефонной сети большого города средний срок оплаты квитанций за междугородние, международные разговоры составлял 45 дней со средним квадратическим отклонением 10 дней. Найти вероятность того, что квитанция, оформленная 1 апреля, будет оплачена а) между 13 мая и 18 мая; б) не позднее 25 мая.

 

Вариант 12.

 

1. Большая корпорация проводит набор стажеров менеджеров, 30% которых имеют университетское образование. 45% набранных стажеров в конце концов получают позицию менеджера в корпорации. Однако процент работников, достигших уровня менеджера, среди стажеров с университетским образованием равен 70%. Какова вероятность того, что менеджер, получивший свою позицию через корпоративную стажировку, имеет университетское образование?

2. В отделе внешних связей фирмы имеется восемь заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

3. Экспериментальная лаборатория института растениеводства получила семена редкого вида пшеницы. Всхожесть семян составляет 80 %. Случайная величина Х – число взошедших семян среди пяти посаженных. Определить тип распределения случайной величины.

а) Составить таблицу распределения Х.

б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

в) Построить график функции распределения y = F(x)

г) Найти вероятность P(X<3).

4. Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых 930 гр., а среднеквадратическое отклонение – 20 гр. Какая доля пакетов будет иметь вес до 900 гр.? Если требуется, чтобы не более чем 2.5% пакетов содержали меньше, чем 900 гр., то как должна быть переналажена машина, чтобы соответствовать этому требованию?

 

Вариант 13.

 

1. Вероятность того, что после прохождения собеседования претендент на должность в некоторой фирме все еще хочет поступить на работу, равна 0.8, тогда как вероятность того, что фирма желает нанять претендента, равна 0.4. Среди претендентов, которых фирма желает нанять на работу, 90% лиц сохраняет намерение работать после прохождения собеседования. Какова вероятность того, что претендент, который все еще хочет поступить на работу, будет нанят фирмой?

2. Небольшая британская компания выпускает гайки и болты, размеры которых задаются в стандартной британской и в метрической системах мер. Однажды коробка с пятнадцатью 20-мм болтами опрокинулась в ящик с тридцатью дюймовыми болтами, а коробка с пятнадцатью 20-мм гайками – в ящик с тридцатью дюймовыми гайками. Какова вероятность, что взятые наудачу болт и гайка подойдут друг к другу?

3. Система выборочного контроля качества подвергает усиленной проверке 20 % автомобилей, сошедших с заводского конвейера. С конвейера сошли пять автомобилей. Случайная величина Х – число автомобилей, прошедших усиленный контроль. Определить тип распределения случайной величины.

а) Составить таблицу распределения Х.

б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

в) Построить график функции распределения y = F(x)

г) Найти вероятность P(X<2).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-3<X<0).

 

Вариант 14.

 

1. Предприниматель покупает некоторую комплектующую деталь у двух поставщиков: А и В. За определенный период времени фирма использует 20000 таких деталей, причем 6000 из них приходит от поставщика А. Процент брака для продукции поставщика А равен 3%, В ­ 1.5%. Найти вероятность того, что данная бракованная деталь была куплена у поставщика А.

2. Банковский менеджер знает по собственному опыту, что в среднем 10% клиентов, оформивших в банке заем, задерживают выплаты по графику возврата денег. Вчера менеджер подписал документы на 7 займов. Какова вероятность того, что

а) ни один из 7 заемщиков не будет задерживать свои выплаты?

б) один из них будет задерживать выплаты?

в) как минимум двое из них будут нарушать график выплат?

3. Случайная величина Х – сумма цифр выбранного наудачу двузначного числа ( от 10 до 49 ).

а) Составить таблицу распределения Х.

б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

в) Построить график функции распределения y = F(x)

г) Найти вероятность P(4,5<X<10).

4. Срок работы электрических компонент подчиняется нормальному распределению со средней продолжительностью работы 80 ч. и среднеквадратическим отклонением – 30 ч. а) Допустим, производитель решил заменить все компоненты, которые вышли из строя до гарантийного срока работы, составляющего 45 ч. Какую долю общего выпуска составит эта часть продукции?

б) Допустим, производитель решил заменить только 10% общего выпуска, т.е. компоненты с самым коротким сроком работы. Какой гарантийный срок работы он должен назначить, чтобы выполнить это условие?

 

Вариант 15.

 

1. Среди мужского населения небольшого города Наукограда в возрасте от 30 до35 лет, 25% жителей имеют университетский диплом, зарплата у 15% жителей-мужчин указанной возрастной категории выше средней, и 65% не имеют университетского диплома и их зарплата ниже средней. Какова вероятность того, что мужчина, случайно выбранный из этой возрастной группы, имеет зарплату выше средней, если а) у него университетское образование; б) нет университетского образования?

2. На прямом участке оживленного городского проспекта установлены четыре светофора, работающих независимо друг от друга. Вероятность проехать светофор без остановки в часы пик равна для каждого из них 0,3. С какой вероятностью курьер доставки товаров проследует три светофора без остановок.

3. Имеется 5 заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,8. Случайная величина Х – число заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(1.5<X<3).

 

Вариант 16.

 

1. За последний период времени 500 автомобилей было возвращено на автомобильный завод из-за наличия дефектов, причем 100 из них были выпущены в понедельник, 100 ­ во вторник, 100 ­ в среду, 100 ­ в четверг и 100 ­ в пятницу. Оказалось, что 40 автомобилей нуждаются в устранении серьезных неполадок, возникших в течение гарантийного периода. Среди автомобилей, выпущенных в пятницу, 15 имеют серьезные неполадки. Являются ли события А=«автомобиль был выпущен в пятницу» и В=«автомобиль имеет серьезные неполадки» независимыми? Сравнить вероятности Р(В) и Р(В/А).

2. Известно, что 40% пациентов, у которых выявлено некоторое заболевание «альфа», должны сделать операцию. В палате находятся четверо больных, которым недавно поставлен диагноз «альфа». Какова вероятность того, что операцию сделает только один из них (все равно кто именно)?

3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В ­ случайной величиной У и по проекту С ­ Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта

1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

2)Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

 

Х -500 -200
р 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

 

У -100
р 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

 

Z -500 -200
р 0.015 0.035 0.9 0.035 0.015

 

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-2<X<3).

Вариант 17.

 

1. Подброшены две игральные кости. Событие А ­ сумма выпавших очков равна 9, событие В ­ разность выпавших очков равна 1. Зависимы ли события А и В? Объяснить почему (подтвердить вычислениями).

2. Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если пять взятых наудачу образцов соответствует стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии восемь единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию?

3. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 42 размера, равна 0,3. В магазине 3 покупателя. Случайная величина Х – число покупателей, находящихся в магазине, которым требуется обувь 42 размера.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см.

1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.

2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?

 

Вариант 18.

 

1. Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести аналитиков необходимо с помощью случайного выбора сформировать комитет, состоящий из десяти человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четверо аналитиков?

2. В среднем 25% взрослого населения некоторого большого города смотрит популярное телевизионное шоу. Какова вероятность того, что среди восьми случайно выбранных взрослых людей шоу смотрит трое или больше?

3. Курс междуреченского доллара меняется еженедельно. Сегодня он равен 87 рублям. Через неделю он может увеличиться на 2 рубля с вероятностью 0,2, уменьшиться на 2 рубля с вероятностью 0,3 либо остаться неизменным. Случайная величина Х – курс междоллара через две недели.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(84,5<X<88).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P().

 

Вариант 19.

 

1. Три мяча выбирают случайным образом из коробки, содержащей 5 белых, 6 красных и 4 желтых мяча. Найти вероятность того, что

а) все три мяча красные;

б) все три мяча разные по цвету;

в) все три мяча одинаковые по цвету.

2. Двух- или четырехмоторный аэроплан может оставаться в воздухе до тех пор, пока функционирует половина его двигателей. Чему равна вероятность падения каждого из типов аэропланов, если вероятность любой поломки двигателя составляет 0,001?

3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В ­ случайной величиной У и по проекту С ­ Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта

1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

 

Х -800 -300
р 0.1 0.25 0.3 0.25 0.1

 

У -300
р 0.1 0.25 0.3 0.25 0.1

 

Z -800 -300
р 0.01 0.025 0.93 0.025 0.01

 

4. Рыночный торговец так настроил свои электронные весы, что показания стоимости покупки округляются до ближайшего целого числа рублей. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания весов. Найти вероятность того, что торговец в результате округления недополучит от 20 до 35 копеек от очередного клиента.

 

Вариант 20.

 

1. В подразделение отряда космонавтов входят 12 человек, из них 7 уже были в космосе, а 5 ­ еще нет. Для участия в проекте отбирают 4 кандидатов. Какова вероятность того, что по крайней мере у двоих из отобранных кандидатов уже есть космический опыт?

2. Консервный цех складирует продукцию в штабели по 500 штук. В некотором штабеле оказалось 150 нестандартных банок. Инспектор выбирает наудачу последовательно две банки. Какова вероятность того, что а) обе банки нестандартные; б) обе банки качественные?

3. На дне глубокого сосуда лежат спокойно 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Случайная величина Х – число извлеченных без возвращения шаров до первого белого.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P().

 

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 5

 

Студенты, имеющие варианты с 1 по 10, выполняют задание № 1, имеющие варианты с 11 по 20 – задание № 2.

 

Задание №1

Отдел маркетинга крупной швейной фабрики провёл анкетирование 500 человек (женщин) по вопросу роста (Х) см и веса (Y) кг. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 12).

 

Таблица 12

Зависимость роста и веса

 

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
Y

 

N 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
X
Y

 

N 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
X
Y

 

Продолжение таблицы 12

 

N 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
X
Y

 

N 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
X
Y

 

N 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
X
Y

 

N 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
X
Y

 

N 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
X
Y

 

N 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116
X
Y

 

N 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129
X
Y

 

N 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142
X
Y
N 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155
X
Y

 

N 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
X
Y

 

N 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181
X
Y

 

Продолжение таблицы 12

 

N 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194
X
Y

 

N 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207
X
Y

 

N 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
X
Y

 

N 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233
X
Y

 

N 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246
X
Y

 

N 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259
X
Y

 

N 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272
X
Y
N 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285
X
Y

 

N 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298
X
Y

 

N 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311
X
Y

 

Продолжение таблицы 12

 

N 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324
X
Y

 

N 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337
X
Y

 

N 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350
X
Y

 

N 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363
X
Y

 

N 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376
X
Y

 

N 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389
X
Y

 

N 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402
X
Y

 

N 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415
X
Y

 

N 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428
X
Y

 

N 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441
X
Y

 

 

Окончание таблицы 12

 

N 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454
X
Y

 

N 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467
X
Y

 

N 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480
X
Y

 

N 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493
X
Y

 

N 494 495 496 497 498 499 500
X
Y

 

Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и дайте интерпретацию полученных результатов.

 

Задание № 2.

 

Получены статистические данные зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 13).

Таблица 13

Зависимость роста и окружности груди

 

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
Y

 

N 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
X
Y

 

Продолжение таблицы 13

 

N 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
X
Y

 

N 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
X
Y

 

N 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
X
Y

 

N 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
X
Y

 

N 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
X
Y

 

N
X
Y

 

N 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
X
Y

 

N 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
X
Y

 

N 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
X
Y

 

N 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
X
Y

 

N 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156
X
Y

 

 

Продолжение таблицы 13

 

N 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
X
Y

 

N 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
X
Y

 

N 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192
X
Y

 

N 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204
X
Y

 

N 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216
X
Y

 

N 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228
X
Y

 

N 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
X
Y

 

N 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252
X
Y

 

N 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264
X
Y

 

N 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276
X
Y

 

N 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288
X
Y

 

 

Продолжение таблицы 13

 

N 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
X
Y

 

N 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312
X
Y

 

N 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324
X
Y

 

N 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336
Х
Y

 

N 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348
X
Y

 

N 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360
X
Y

 

N 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372
X
Y

 

N 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384
X
Y

 

N 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396
X
Y

 

N 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408
X
Y

 

N 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420
X
Y

 

 

Окончание таблицы 13

 

N 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432
X
Y

 

N 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444
X
Y

 

N 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456
X
Y

 

N 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468
X
Y

 

N 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480
X
Y

 

N 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492
X
Y

 

N 493 494 495 496 497 498 499 500
X
Y

 

Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и дайте интерпретацию полученных результатов.

 

 

7. ВЫБОР ВАРИАНТА. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

Студент должен выполнить задания № 1- № 4 контрольной работы по варианту, номер которого равен остатку от деления номера зачётной книжки на 20. Так, например, если номер зачётной книжки 1477, то остаток от деления этого числа на 20 равен 17 и, значит, следует решать 17-й вариант; если номер зачётной книжки 1846, то остаток равен 6, и следует решать 6-й вариант. Если остаток равен нулю, то нужно решать 20-й вариант. Выбирать данные для задачи № 5 нужно так, как это указано в методических указаниях к этой задаче, т. е. основываясь на дате своего рождения и таблице случайных чисел.

Перед решением должно быть выписано условие. Выполнение каждого пункта должно сопровождаться необходимыми пояснениями.

Контрольную работу желательно набрать на компьютере. Пример оформления титульного листа контрольной работы приведен в Приложении 6.

При обработке данных в задаче № 5 допускается использование либо программируемого калькулятора, либо стандартных пакетов компьютерных программ, позволяющих обрабатывать статистические данные.

 

 

8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Высшая школа,1998.

2. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. ИНФРА-М,1997.

3. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Наука, 1979.

4. Раковщик Л.С., Худобина Э.А. Элементы дискретного анализа. ЛИЭИ, 1988.

5. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel.Ростов-на-Дону : Феникс, 2002.

 

 

Приложение 1

Таблица случайных чисел

 

Продолжение приложения 1

 

Приложение 2

Нормированная функция Лапласа

z
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

 

Продолжение приложения 2

z
2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 5,0

 

 

Приложение 3

Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения

  n     n
0.95 0.99 0.999 0.95 0.99 0.999
0.92 - - 0.32 0.49 0.73
0.80 - - 0.28 0.43 0.63
0.71 - - 0.26 0.38 0.56
0.65 - - 0.24 0.35 0.50
0.59 0.98 - 0.22 0.32 0.46
0.55 0.90 - 0.21 0.30 0.43
0.52 0.83 - 0.188 0.269 0.38
0.48 0.78 - 0.174 0.245 0.34
0.46 0.73 - 0.161 0.226 0.31
0.44 0.70 - 0.151 0.211 0.29
0.42 0.66 - 0.143 0.198 0.27
0.40 0.63 0.96 0.115 0.160 0.211
0.39 0.60 0.92 0.099 0.136 0.185
0.37 0.58 0.88 0.089 0.120 0.162
                     

 

Приложение 4

Критические точки распределения

Число Степеней Свободы Уровень значимости
0,01 0,05 0,1 0,90 0,95 0,99
6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9 3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8   2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0 17,3 18,5 19,8 21,1 22,3 23,5 24,8 26,0 27,2 28,4 29,6 30,8 32,0 33,2 34,4 35,6 36,7 37,9 39,1 40,3 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,87 5,58 6,30 7,04 7,79 8,55 9,31 10,1 10,9 11,7 12,4 13,2 14,0 14,8 15,7 16,5 17,3 18,1 18,9 19,8 20,6 0,004 0,1 0,35 0,71 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5 0,0002 0,02 0,12 0,30 0,55 0,87 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0

Приложение 5

Содержание дисциплины

(Извлечение из рабочей программы дисциплины)

 

 

РАЗДЕЛ 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Тема 3.1.Случайные события, вероятность и основные теоремы

Сущность и условия применимости теории вероятностей: выработка строгих аналитических средств для описания массовых случайных явлений и процессов в природе и обществе; определения и формулы для основных видов соединений комбинаторики. Основные понятия теории вероятностей: события, их классификация, свойства случайных событий, действия над событиями; геометрическая трактовка событий и действий над ними. Вероятностное пространство: пространство элементарных событий, благоприятные исходы, наблюдаемость событий, пример; аксиоматическое определение вероятности и следствия из этих аксиом; классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности события; теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий; условная вероятность, формула и ее геометрическая трактовка; теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий; формула полной вероятности, ее геометрическая трактовка; формулы Байеса, их вероятностный смысл; схема повторных независимых испытаний как последовательность успехов и неудач: формулы Бернулли, локальная теорема Лапласа; свойства дифференциальной функции; интегральная теорема Лапласа, свойства интегральной функции; формулы Пуассона.

Тема 3.2. Случайная величина, классификация и основные теоремы

Случайные величины и способы их описания: дискретные и непрерывные случайные величины; функция распределения вероятностей и ее свойства; способы задания дискретной случайной величины, ее функция распределения, формула и график; непрерывная случайная величина, ее плотность распределения, свойства; основные числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, вероятностный смысл и геометрическая трактовка; основные свойства; определение дисперсии, ее вероятностный смысл, вычислительные формулы, свойства дисперсии; определение средне-квадратического отклонения и его трактовка; моменты; коэффициент линейной корреляции; независимость и некоррелируемость. Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях: биномиальный закон, закон Пуассона, равномерный закон, показательный закон, нормальный закон. Вероятностный смысл параметров этих распределений. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин.

 

Тема 3.3.Основные предельные теоремы

Неравенство Чебышева: сходимость по вероятности и сходимость по распределению последовательности случайных величин к случайной величине;…

Тема 3.4. Системы случайных величин

 

Задание системы двух случайных величин; закон (таблица) распределения двух дискретных случайных величин и построение таблиц распределения ее отдельных компонент; построение уравнения линейной регрессии. Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов: терема о финальных вероятностях вектора состояний системы и ее применения в экономической практике. Элементы теории массового обслуживания, приложения.

Тема 3.5. Статистическое оценивание и проверка гипотез

  Приложение 6  

Образец оформления титульного листа

Контрольной работы

Федеральное агентство по образованию

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

инженерно-экономический университет»

 

Кафедра высшей математики

 

 

Контрольная работа № 3 по дисциплине

 

 

МАТЕМАТИКА

  студент ____ курса (срок обучения) спец. _____________ группа______№ зачет. книжки ________________________

Санкт-Петербург

200_

Приложение 7

 

Перечень контрольных вопросов для проверки знаний по дисциплине

1. Что такое случайное событие? 2. Какие действия возможны над событиями? 3. Как выглядят формулы классической, геометрической, статистической вероятностей?

– Конец работы –

Используемые теги: Теория, вероятности0.045

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теория вероятности

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Кейнсианская, монетариская теория и теория рациональных ожиданий
Рекомендации кейнсианской теории принимали в Соединенных Штатах администрации и демократов, и республиканцев. Иных взглядов придерживался лауреат… Но экономическая мысль не стоит на месте, спустя некоторое время Роберт… Приведены основные отличия и сходства. Сходства и различия. Сравним кейнсианскую теорию и монетаризм, показав их в…

Теория вероятностей
Введение... Теория вероятностей ТВ возникла в XVII веке в связи с попыткой поставить на... Основные понятия...

Теория циклов. Классическая теория циклов
Теория циклов... Классическая теория циклов... Основой классической теории циклов стало предположение о том что все вокруг подвержено циклам рождение жизнь и...

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра высшей математики и информатики...

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ... КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ... ПО МАТЕМАТИКЕ...

Теория вероятностей
Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например 0,75, ещё не представляет само по себе окончательной ценности,… Имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на… Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей.Для описания закономерной связи между некоторыми условиями S и…

Теория вероятности
Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Например, Ферм, Бернулли, Паскаль.Позднее развитие теории вероятностей определились… Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев,… При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины…

ДОКЛАД по дисциплине Теория игр и исследование операций На тему: Теория игр, графический метод в теории игр
МИНОБРНАУКИ РОССИИ... ФГБОУ ВПО ВОСТОЧНО СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙИ УПРАВЛЕНИЯ...

Методические указания к изучению дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ... МОСКОВСКОГО ФИНАНСОВО ЮРИДИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МФЮА...

Кейнсианская, монетариская теория и теория рациональных ожиданий
Рекомендации кейнсианской теории принимали в Соединенных Штатах администрации и демократов, и республиканцев. Иных взглядов придерживался лауреат… Но экономическая мысль не стоит на месте, спустя некоторое время Роберт… Приведены основные отличия и сходства. Сходства и различия. Сравним кейнсианскую теорию и монетаризм, показав их в…

0.041
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам