Уравнение плоскости в пространстве

а) Задание плоскости по точке и нормальному вектору. Пусть плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору (рис.8.3).

 

 

Рис. 8.3. Плоскость, заданная точкой и нормальным вектором

 

Вектор называется нормальным вектором плоскости .

Возьмем в плоскости произвольную точку . Тогда вектор будет перпендикулярен вектору . Значит скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. в координатном виде:

; (8.3)

.

Уравнение плоскости можно записать в виде:

, (8.4)

где .

Уравнение (8.4) называется общим уравнением плоскости.

б) Задание плоскости по трем точкам.Возьмем на плоскости три точки, не лежащие на одной прямой: , , .

 

Рис. 8.4. Задание плоскости по трем точкам

 

Зададим векторы и . Так как три данные точки не лежат на одной прямой, то заданные векторы не коллинеарные (не параллельны и не лежат на одной прямой). Векторы и образуют базис двумерного пространства.

В плоскости возьмем произвольную точку . Зададим вектор . Так как векторы и образуют базис, то вектор является линейной комбинацией базисных векторов. Значит, строки матрицы, составленной из координат этих векторов, линейно зависимы и определитель такой матрицы равен нулю:

. (8.5)

 

в) Задание плоскости по точке , лежащей на плоскости и двум направляющим векторам (векторы лежат в данной плоскости или параллельны плоскости) и .

Рассуждения аналогичны рассуждениям под буквой б), поэтому получим:

. (8.6)

 

Частные случаи общего уравнения плоскости:

Если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если , то уравнение определяет плоскость, параллельную . Аналогично при параллельность и при параллельность .

Если , то определяет плоскость, параллельную плоскости . При параллельность , при параллельность .

Если , то определяет плоскость, проходящую через ось . При проходит через , при проходит через .

Если , то определяет координатную плоскость . При плоскость , при плоскость .

 

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостейопределяются условиями коллинеарности и перпендикулярности нормальных векторов и .

Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных:

.

Условие перпендикулярности:

.