Производная обратной функции

Теорема. Пусть непрерывная строго монотонная функция имеет в точке конечную и отличную от нуля производную . Тогда у обратной функции в соответствующей точке также существует производная, равная .

Доказательство. Придадим значению произвольное приращение , пусть - соответствующее ему приращение функции . Из монотонности функции следует, что . Имеем

.

Если , то в силу непрерывности функции и . Но тогда знаменатель правой части последнего равенства стремится к , то есть

.

Эту формулу можно записать в виде .