Определение. Множество называется множеством действительных (вещественных) чисел, если для него выполняются следующие условия, называемые аксиоматикой вещественных чисел:
(I) Аксиомы сложения
Определено отображение (операция сложения)
,
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый суммой, причем выполняются следующие условия:
1. (коммутативность).
2. (ассоциативность).
3. Существует элемент 0 (ноль) такой, что для любого
.
4. Для любого элемента существует элемент (противоположный) такой, что
.
(II) Аксиомы умножения
Определено отображение (операция умножения)
,
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый произведением, причем выполняются следующие условия:
1. (коммутативность).
2. (ассоциативность).
3. Существует элемент (единица) такой, что для любого .
4. Для любого элемента существует элемент (противоположный) такой, что .
(I, II) Связь сложения и умножения
(дистрибутивность).
(III) Аксиомы порядка
Между элементами имеется отношение (отношение неравенства), то есть для любых элементов выполняется ли или , причем справедливы следующие условия:
1. и .
2. если и , то .
3. если , то для .
4. если и , то .
(IV) Аксиома полноты (непрерывности)
Если и - непустые подмножества , такие, что для любых элементов
и выполнено , то существует такое , что для всех
и .