Свойства предела последовательности

Непосредственно из определения следует:

Замечание. Предел последовательности не изменится, если изменить конечное число ее членов.

Теорема. Последовательность не может иметь двух различных пределов.

Доказательство. 4Предположим противное, допустим, что последовательность имеет два разных предела, то есть и , причем . Так как точки и различны, то очевидно, при достаточно маленьком радиусе окрестности и не будут пересекаться, то есть . По определению предела последовательности в попадает бесконечное число членов последовательности (все после некоторого номера), а следовательно, вне окрестности находится бесконечное число членов , то есть не может быть пределом нашей последовательности. 3

Теорема. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. 4Пусть . Полагая в определении предела , найдем номер такой, что будет выполнено или . Возьмем . Очевидно, что для всех номеров будет выполнено , что означает ограниченность последовательности . 3