Определение предела и непрерывности по Гейне

Между понятием предела последовательности и понятием предела функции имеется тесная связь.

Теорема. Функция имеет предел при тогда и только тогда, когда для любой последовательности такой, что и .

Доказательство. 4Пусть и , . Тогда

. (1)

Из сходимости же последовательности к следует существование такого номера , что для всех будет , а так как , то

. (2)

Объединяя (1) и (2), получим

,

то есть

.

Пусть теперь для любой последовательности , сходящейся к и такой, что . Если не является пределом при , то найдется окрестность такая, что при любом найдется точка такая, что . Но это означает, что подпоследовательность не сходится к , хотя последовательность стремится к .3

Из доказанной теоремы следует, что данное ранее определение предела (по Коши) эквивалентно следующему определению (по Гейне):

Определение. Говорят, что функция имеет предел при , если для любой последовательности такой, что и .

Дадим также определение непрерывности по Гейне. Здесь можно отказаться от условия .

Определение. Функция непрерывна в точке , если для любой последовательности такой, что

Так же, как и в случае предела функции, определения непрерывности по Коши и по Гейне эквивалентны.

Упражнение. Докажите это утверждение.