Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Утверждение. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Функция непрерывна в точке , если . Если же функция дифференцируема в данной точке, то

.

Обратное неверно, а именно, существуют непрерывные в точке функции, недифференцируемые в этой точке.

Пример. Рассмотрим функцию в нуле. Очевидно, что

,

то есть функция непрерывна в нуле. Если бы она была в нуле еще и дифференцируемой, то было бы

,

то есть

.

Положим , и пусть , тогда

.

В таком случае

.

Последний предел, как нам известно, не существует, поскольку

.