Производная от сложной функции.

Пусть в открытой области задана функция , непрерывная вместе со своими частными производными в , и пусть переменные являются непрерывно дифференцируемыми функциями от переменной на промежутке , причем при точка . Тогда мы можем рассмотреть сложную функцию , определенную на .

Покажем, что эта функция дифференцируема, и вычислим ее производную. Итак, фиксируем точку . Придадим переменной некоторое приращение , ему будут соответствовать приращения переменных . Поскольку частные производные функции непрерывны в окрестности этой точки, она дифференцируема в и соответствующее ее приращение представимо в виде

,

где - бесконечно малые функции при .

Разделив обе части последнего равенства на , получим

.

Так как непрерывны, то при будет и, соответственно, . Воспользовавшись также существованием производных , в пределе получим

.

Теперь рассмотрим случай, когда зависят от нескольких переменных, например, от двух:(случай большего количества переменным ничем принципиально от этого не отличается). Будем предполагать по аналогии с одномерным случаем, что имеют непрерывные частные производные по переменным и .

Вопрос существования частных производных и существенно не отличается от рассмотренного ранее, поскольку при вычислении частной производной одну из двух переменных мы фиксируем, и у нас остается функция, зависящая только от одной переменной. Для этого случая получим

,

аналогичная формула получается для производной по переменной .