Реферат Курсовая Конспект
Производные и дифференциалы высших порядков. - раздел Математика, Производные и дифференциалы высших порядков Если Функция ...
|
Если функция , определенная в некоторой области , имеет частную производную по переменной , то эта частная производная вновь является некоторой функцией, которая в свою очередь может иметь частную производную . Эта функция называется второй производной функции по переменным и обозначается символом . Порядок индексов указывает, в каком порядке производится дифференцирование по соответствующим переменным.
Мы определили частные производные второго порядка.
Если определена частная производная
порядка , то по индукции определяем частную производную порядка соотношением
.
Когда функции записываются в виде , вторые или третьи частные производные часто обозначаются следующим образом: и так далее.
Возникает вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирования на вычисленную частную производную. В общем случае влияет, но если функция удовлетворяет некоторым условиям, то нет. Сформулируем соответствующую теорему для случая функции двух переменных.
Теорема (Шварца). Если функция непрерывна вместе со своими вторыми частными производными в некоторой окрестности , точки , то
.
Доказательство. Введем вспомогательную функцию
,
где смещение предполагается достаточно малым, чтобы .
Функцию можно представить как разность
,
где . Тогда по формуле конечных приращений имеем
.
Применяя формулу конечных приращений к последней разности, получим
. (1)
Если теперь представить в виде разности
,
где , то аналогичным образом найдем, что
. (2)
Сравнивая равенства (1) и (2), заключаем, что
.
Воспользовавшись непрерывностью рассматриваемых частных производных в точке при , получаем нужное нам равенство.
Следствие. Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до го порядка включительно.
Тогда значение любой й смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: Производные и дифференциалы высших порядков.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Производные и дифференциалы высших порядков.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов