Производные и дифференциалы высших порядков.

Если функция , определенная в некоторой области , имеет частную производную по переменной , то эта частная производная вновь является некоторой функцией, которая в свою очередь может иметь частную производную . Эта функция называется второй производной функции по переменным и обозначается символом . Порядок индексов указывает, в каком порядке производится дифференцирование по соответствующим переменным.

Мы определили частные производные второго порядка.

Если определена частная производная

порядка , то по индукции определяем частную производную порядка соотношением

.

Когда функции записываются в виде , вторые или третьи частные производные часто обозначаются следующим образом: и так далее.

Возникает вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирования на вычисленную частную производную. В общем случае влияет, но если функция удовлетворяет некоторым условиям, то нет. Сформулируем соответствующую теорему для случая функции двух переменных.

Теорема (Шварца). Если функция непрерывна вместе со своими вторыми частными производными в некоторой окрестности , точки , то

.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

,

где смещение предполагается достаточно малым, чтобы .

Функцию можно представить как разность

,

где . Тогда по формуле конечных приращений имеем

.

Применяя формулу конечных приращений к последней разности, получим

. (1)

Если теперь представить в виде разности

,

где , то аналогичным образом найдем, что

. (2)

Сравнивая равенства (1) и (2), заключаем, что

.

Воспользовавшись непрерывностью рассматриваемых частных производных в точке при , получаем нужное нам равенство.

Следствие. Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до го порядка включительно.

Тогда значение любой й смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.