Дифференциалы высших порядков.

Пусть в области задана некоторая функция , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Тогда она будет дифференцируема в этой области, и ее дифференциал имеет вид

,

где - произвольные приращения независимых переменных .

Видим, что также является функцией от . Если существуют непрерывные частные производные второго порядка функции для , то можно говорить о дифференциале от первого дифференциала , который называется дифференциалом второго порядка от и обозначается символом .

Приращения при этом рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Запишем формулу второго дифференциала для функции двух переменных :

.

Если первый дифференциал символически записать следующим образом

,

то второй будет иметь вид

.

Можно показать, что аналогичная формула справедлива для дифференциалов любого порядка от функций любого же количества переменных :

.