Пусть в области задана некоторая функция , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Тогда она будет дифференцируема в этой области, и ее дифференциал имеет вид
,
где - произвольные приращения независимых переменных .
Видим, что также является функцией от . Если существуют непрерывные частные производные второго порядка функции для , то можно говорить о дифференциале от первого дифференциала , который называется дифференциалом второго порядка от и обозначается символом .
Приращения при этом рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.
Запишем формулу второго дифференциала для функции двух переменных :
.
Если первый дифференциал символически записать следующим образом
,
то второй будет иметь вид
.
Можно показать, что аналогичная формула справедлива для дифференциалов любого порядка от функций любого же количества переменных :
.