Дифференциалы сложных функций.

Рассмотрим сложную функцию , где, в свою очередь, . В этом случае первый дифференциал имеет прежнюю форму

,

но здесь уже и являются дифференциалами не независимых переменных, а функций.

Вычислим теперь второй дифференциал данной функции:

.

Видим, что для дифференциала второго порядка инвариантность формы, вообще говоря, уже не имеет места (если ). Однако, если функции линейные, то и инвариантность формы сохраняется.

То есть в этом случае , хотя и .

Аналогичный факт будет справедлив для функций большего числа переменных и дифференциалов произвольных порядков.