Формула Тейлора.

Теорема. Если функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными до порядка включительно в некоторой окрестности точки , то справедлива формула

.

Доказательство. Формула Тейлора является следствием соответствующей формулы для функции одной переменной. В самом деле, введем вспомогательную функцию , которая определена на отрезке и имеет на нем производные до порядка включительно. Запишем для нее формулу Тейлора

, . (3)

Так как зависимость переменных от переменной линейная, то форма дифференциалов сохраняется, то есть

.

Подставив полученные выражения в равенство (3), получим нужную нам формулу.