Необходимые условия относительного экстремума.

Рассмотрим случай поиска условного экстремума функции двух переменных при наличии одного уравнения связи.

(1)

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные смешанные производные в окрестности точки , причем , и пусть - точка условного экстремума в задаче (1).

Тогда существует число (множитель Лагранжа) такое, что .

Доказательство. Из условия следует, что и не могут быть равны нулю одновременно. Пусть, например, . Тогда по теореме о неявной функции в некоторой окрестности переменную можно явно выразить через переменную , причем функция будет непрерывной и дифференцируемой в этой окрестности, а ее производная вычисляется по формуле .

Точка в таком случае будет точкой абсолютного экстремума сложной функции . Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции одной переменной является равенство нулю производной. Запишем это условие:

.

То есть . Равенство нулю определителя означает линейную зависимость его строк. То есть равенство нулю некоторой нетривиальной линейной комбинации строк:

.

Так как , то и можно положить . И мы получаем равенство

.

Итак, в точке условного экстремума необходимо должно выполняться

Если ввести вспомогательную функцию (функцию Лагранжа) , то уравнения последней системы означают равенство нулю ее дифференциала, то есть решение этой системы является точкой стационарности функции .

В общем случае надо искать точки стационарности функции

.