Вернемся к задаче (1)
Пусть функции и имеют непрерывные вторые смешанные производные в окрестности точки , причем , и пусть - точка стационарности функции Лагранжа .
Отметим, что если переменные удовлетворяют уравнению связи , то справедливо равенство , поэтому при этих условиях точка будет точкой экстремума функций и одновременно.
Займемся вопросом существования экстремума функции в точке . Запишем приращение по формуле Тейлора, учитывая, что :
.
Можно показать, что при условии строгой положительности или отрицательности второго дифференциала, знак разности для достаточно малых приращений переменных определяется знаком первого слагаемого.
Распишем второй дифференциал:
.
Так как при наших условиях , то получаем, что знак приращения совпадает со знаком выражения
.
Таким образом, в нашей точке будет относительный минимум, если
и максимум, если
.
Или
В общем случае
,
достаточным условием существования относительного экстремума является сохранение в окрестности критической точки знака второго дифференциала функции Лагранжа
при условии, что переменные связаны соотношением
.