Достаточные условия относительного экстремума.

Вернемся к задаче (1)

Пусть функции и имеют непрерывные вторые смешанные производные в окрестности точки , причем , и пусть - точка стационарности функции Лагранжа .

Отметим, что если переменные удовлетворяют уравнению связи , то справедливо равенство , поэтому при этих условиях точка будет точкой экстремума функций и одновременно.

Займемся вопросом существования экстремума функции в точке . Запишем приращение по формуле Тейлора, учитывая, что :

.

Можно показать, что при условии строгой положительности или отрицательности второго дифференциала, знак разности для достаточно малых приращений переменных определяется знаком первого слагаемого.

Распишем второй дифференциал:

.

Так как при наших условиях , то получаем, что знак приращения совпадает со знаком выражения

.

Таким образом, в нашей точке будет относительный минимум, если

и максимум, если

.

Или

В общем случае

,

достаточным условием существования относительного экстремума является сохранение в окрестности критической точки знака второго дифференциала функции Лагранжа

при условии, что переменные связаны соотношением

.