Первообразные рациональных функций

Первообразные рациональных функций

Рассмотрим интегралы вида , где - отношение полиномов. Из алгебры известно, что любую такую дробь можно представить в виде

,

(дискриминанты знаменателей дробей второй суммы отрицательны).

Дроби вида , , и называются простейшими рациональными дробями соответственно и рода.

Имеем

,

,

Рассмотрим интегралы . Интегрируя по частям, имеем

,

то есть

.

Пример1. .

Пример 2.

.

,

умножим левую и правую части равенства на знаменатель левой части:

,

поскольку наши многочлены равны, то равны их значения в точке :

равны коэффициенты при

.

А для определения оставшихся трех коэффициентов, приравняем значения еще в трех точках:

,

,

,

,

.

Пример 3. .

.

Первообразные вида .

, получаем .

Первообразные вида .

В этом случае подынтегральное выражение рационализируется при помощи подстановки .

Пример 7.

, где .

Первообразные вида .

В этом случае подынтегральное выражение рационализируется при помощи подстановки .

Пример 8. .

 

Первообразные вида . Подстановки Эйлера.

Выделяя полный квадрат в трехчлене и делая соответствующую линейную замену переменной, интеграл можно привести к одному из следующих видов:

, , .

Для рационализации этих интегралов достаточно положить, соответственно:

(тогда ; ; ; );

; (тогда ; ).

Эти подстановки были предложены еще Эйлером.

Можно воспользоваться тригонометрическими или гиперболическими подстановками.

.

.

.

Пример 9.

, где и .

Пример 10.

.