Первообразные рациональных функций
Рассмотрим интегралы вида , где - отношение полиномов. Из алгебры известно, что любую такую дробь можно представить в виде
,
(дискриминанты знаменателей дробей второй суммы отрицательны).
Дроби вида , , и называются простейшими рациональными дробями соответственно и рода.
Имеем
,
,
Рассмотрим интегралы . Интегрируя по частям, имеем
,
то есть
.
Пример1. .
Пример 2.
.
,
умножим левую и правую части равенства на знаменатель левой части:
,
поскольку наши многочлены равны, то равны их значения в точке :
равны коэффициенты при
.
А для определения оставшихся трех коэффициентов, приравняем значения еще в трех точках:
,
,
,
,
.
Пример 3. .
.
Первообразные вида .
В этом случае подынтегральное выражение рационализируется при помощи подстановки .
Пример 7.
, где .
Первообразные вида .
В этом случае подынтегральное выражение рационализируется при помощи подстановки .
Пример 8. .
Первообразные вида . Подстановки Эйлера.
Выделяя полный квадрат в трехчлене и делая соответствующую линейную замену переменной, интеграл можно привести к одному из следующих видов:
, , .
Для рационализации этих интегралов достаточно положить, соответственно:
(тогда ; ; ; );
; (тогда ; ).
Эти подстановки были предложены еще Эйлером.
Можно воспользоваться тригонометрическими или гиперболическими подстановками.
.
.
.
Пример 9.
, где и .
Пример 10.
.