Свойства сумм Дарбу.

Утверждение. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может только возрасти, а верхняя только уменьшиться.

Доказательство. Для доказательства этого факта достаточно ограничиться присоединением одной точки . Пусть она попала на й промежуток:

.

Обозначим через новую верхнюю сумму Дарбу, от прежней она отличается только слагаемыми, соответствующими промежутку . Пусть и обозначают точные верхние границы функции, соответственно, на промежутках и .

Имеем

,

откуда следует .

Аналогично доказывается соответствующее неравенство для нижних интегральных сумм.

Утверждение. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней.

Доказательство. Пусть - верхняя и нижняя суммы Дарбу, соответствующие разбиению , а , соответствующие разбиению . Объединим точки деления этих двух разбиений в третье - , и пусть - его суммы Дарбу. Имеем

.

Из доказанного утверждения следует, что множество всех нижних сумм ограничено сверху (любой верхней суммой), а множество верхних сумм ограничено снизу (любой нижней). В таком случае, существуют

,

причем . Эти числа называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу.