Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Пусть функция интегрируема на отрезке . Положим по определению и .

(Аддитивность). Пусть ограниченная кусочно-непрерывная функция определена в наибольшем из промежутков , и . Тогда справедливо равенство

.

Доказательство. Предположим сначала, что . Рассмотрим разбиение отрезка на части. Не нарушая общности, можно считать точку одной из точек деления. Для соответствующей интегральной суммы будем иметь

.

Переходя к пределу при , получим требуемое равенство.

Другие случаи взаимного расположения точек приводятся к разобранному. Пусть, например, . Тогда, по доказанному,

,

.

После перестановки пределов интегрирования в последнем интеграле, получим нужное нам равенство.

Аналогично поступаем с другими расположениями.

(Линейность). Пусть функции и интегрируемы на отрезке . Тогда произвольная линейная комбинация этих функций также будет интегрируемой на этом отрезке, причем

.

Доказательство. Возьмем произвольное разбиение отрезка на части и составим интегральные суммы для всех трех интегралов. При этом точки в каждом частичном промежутке выбираем для всех трех сумм одни и те же. Получим

.

Переходя в последнем равенстве к пределу при , убеждаемся в интегрируемости линейной комбинации и справедливости требуемого равенства.

Теорема (об оценке модуля интеграла). Пусть функция интегрируема на отрезке , тогда функция также интегрируема на этом отрезке, и имеет место неравенство

.

Доказательство. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка . Так как для любой пары точек будет , то и колебание функции в этом промежутке не превосходит (колебания функции ). В таком случае имеем , а переходя к пределу в последнем неравенстве при , убеждаемся в интегрируемости функции . Для доказательства нужного нам неравенства для интегралов перейдем к пределу в соответствующем неравенстве для интегральных сумм.

Теорема (об интегрировании неравенств). Если функции иинтегрируемы на отрезке и везде на , то

.

Доказательство. Так как функции и интегрируемы, то мы можем выбрать любую последовательность разбиений с параметрами, стремящимися к нулю, для того, чтобы в пределе получить интеграл. Выберем разбиения отрезка на равных промежутков: и выделим точки . Тогда, с учетом заданного неравенства, имеем:

,

и, переходя в последним неравенстве к пределу при , получаем нужное нам неравенство.

Теорема (об оценке интеграла). Если функция интегрируема на отрезке , и если на всем этом отрезке справедливо неравенство , то

.

Доказательство. Воспользуемся предыдущим свойством с учетом того, что

.

Теорема о среднем значении

Определение. Средним интегральным функции на отрезке называется число

.

Теорема (о среднем интегральном). Пусть функция интегрируема на отрезке , и пусть на всем этом отрезке . Тогда

,

где .

Доказательство. По теореме об оценке интеграла

,

откуда получаем

.

Теперь полагаем .

В случае непрерывной функции справедлива следующая теорема.

Теорема (о среднем интегральном значении непрерывной функции). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда найдется точка такая, что

.

Доказательство. В качестве и возьмем соответственно наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке . По второй теореме Вейерштрасса эти значения принимаются в некоторых точках :

.

По теореме о среднем интегральном принадлежит отрезку с . По теореме же Коши о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке с концами в точках и найдется точка , в которой .

Требование непрерывности функции на существенно. В самом деле, рассмотрим Тогда (множеству значений функции ).

Интеграл с переменным верхним пределом

, которую часто называют интегралом с переменным верхним пределом. Из свойства… Теорема (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если функция интегрируема на отрезке , то функция…

Основная формула интегрального исчисления.

, поэтому . При получим .

Формула интегрирования по частям.

. Доказательство. По правилу дифференцирования производной произведения имеем … .

Замена переменной в определенном интеграле.

. Доказательство. Пусть - первообразная функции , тогда по теореме о… .