Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция интегрируема на отрезке . Определим на этом же отрезке функцию

,

которую часто называют интегралом с переменным верхним пределом. Из свойства аддитивности определенного интеграла вытекает корректность определения функции для .

Теорема (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если функция интегрируема на отрезке , то функция будет непрерывной на этом отрезке.

Доказательство. Интегрируемая на отрезке функция ограничена на нем, то есть существует такое число , что на . Пусть , и пусть - приращение независимой переменной, при котором . Воспользовавшись свойством аддитивности, а также теоремами об оценках определенного интеграла, получим

.

То есть , что означает непрерывность функции в точке .

Теорема (о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда функция будет дифференцируемой на этом отрезке.

Доказательство.,

где лежит между и . Из непрерывности следует, что при будет справедливо .