Несобственные интегралы

Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы первого рода.

, (1) если этот предел существует, называется несобственным интегралом от функции по… Говорят, что интеграл сходится, если конечный предел существует и расходится в противном случае.

Утверждение. Если функция определена в промежутке и интегрируема на любом отрезке , содержащемся в этом промежутке, то интегралы и сходятся и расходятся одновременно.

Задача. Докажите это утверждение.

Пример 1. Выясним, при каких значениях параметра сходится интеграл .

.

Из определения несобственного интеграла видно, что сходимость интеграла равносильна существованию предела функции при .

Утверждение(критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Если функцияопределена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , то интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого можно указать такое , что для любых имеет место соотношение

.

Доказательство. В самом деле,

,

поэтому сформулированное условие есть критерий Коши существования предела функции при .

Утверждение. Если функция неотрицательна, то интеграл представляет собой неубывающую функцию, и для сходимости интеграла (1) необходимо и достаточно ограниченности функции на .

Справедливость этого утверждения следует из определения несобственного интеграла и теоремы о пределе монотонной функции.

Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов.

Доказательство. Из условия теоремы и соответствующих неравенств для определенного интеграла Римана при любом имеем . Из ограниченности функции на следует ограниченность а, значит, и сходимость . Сходимость интеграла следует из…

Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Утверждение. Если интегралсходится абсолютно, то он сходится. Доказательство. Достаточно проверить признак Коши для сходимости интеграла : … .

Несобственные интегралы второго рода.

, (2) если этот предел существует, называется несобственным интегралом от функции по… Говорят, что интеграл сходится, если конечный предел существует и расходится в противном случае.

Утверждение. Если функция определена в промежутке , интегрируема на любом отрезке , содержащемся в этом промежутке и неограниченна в любой полуокрестности , то интегралы и сходятся и расходятся одновременно.

Задача. Докажите это утверждение.

Пример 2. Выясним, при каких значениях параметра сходится интеграл .

.

Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов второго рода.

Пусть функции и определены на промежутке , и пусть для некоторого на промежутке справедливо неравенство . Тогда из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из… Теорема (предельный признак сравнения). Пусть положительные функции и определены на промежутке , и пусть существует…

Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл .

Утверждение. Если интегралсходится абсолютно, то он сходится.