.
Теорема. Пусть непрерывные в нуле функции и эквивалентны при , а функция бесконечно малая при .
Тогда функция будет эквивалентна функции при .
Аналогично предыдущей доказывается теорема:
Теорема. Пусть , где при . И пусть - бесконечно малая при , причем в .
Тогда при .
Приведем асимптотические представления для основных элементарных функций при :
,
,,,.
Разберем несколько примеров.
Пример 1. Написать асимптотическую формулу для при (записать два члена асимптотики, не считая остатка).
Решение. , где - бесконечно малая при ,
.
Пример 2. Написать асимптотическую формулу для при (записать два члена асимптотики, не считая остатка).
Решение.
, где - бесконечно малая при ;
.
Пример 3. Написать асимптотическую формулу для при (записать два члена асимптотики, не считая остатка).
Решение.
;
(все остальные слагаемые в последнем произведении «поглощены» ). Таким образом
.