Утверждение.

.

Теорема. Пусть непрерывные в нуле функции и эквивалентны при , а функция бесконечно малая при .

Тогда функция будет эквивалентна функции при .

Аналогично предыдущей доказывается теорема:

Теорема. Пусть , где при . И пусть - бесконечно малая при , причем в .

Тогда при .

Приведем асимптотические представления для основных элементарных функций при :

,

,,,.

Разберем несколько примеров.

Пример 1. Написать асимптотическую формулу для при (записать два члена асимптотики, не считая остатка).

Решение. , где - бесконечно малая при ,

.

Пример 2. Написать асимптотическую формулу для при (записать два члена асимптотики, не считая остатка).

Решение.

, где - бесконечно малая при ;

.

Пример 3. Написать асимптотическую формулу для при (записать два члена асимптотики, не считая остатка).

Решение.

;

(все остальные слагаемые в последнем произведении «поглощены» ). Таким образом

.