Пусть функция непрерывна на полуоси . Нас будет интересовать поведение функции при .
Теорема. Пусть положительные функции , непрерывны на полуоси . Обозначим , .
Тогда если и при , то при .
Доказательство. Пусть . Согласно условию теоремы, интеграл расходится, поэтому по теореме сравнения для несобственных интегралов расходится также и интеграл , то есть . Следовательно, при нахождении предела отношения функций и мы можем воспользоваться правилом Бернулли-Лопиталя. Итак, получаем
.
Пусть теперь . Если интеграл сходится, то существует конечный предел и . Если же , то воспользуемся правилом Бернулли-Лопиталя:
.
Во всех случаях .
Пример 5. Написать асимптотическое представление функции, заданной интегралом:(записать два члена асимптотики).
Здесь ,
.
Пример 6. Написать асимптотическое представление функции, заданной интегралом:(записать два члена асимптотики).
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
,
.
Так как , то и . Это означает, что и . Окончательно получаем
.
Докажем еще одну теорему:
Теорема. Пусть положительные функции , непрерывны на полуоси . Обозначим , .
Тогда если сходится и при , то при .
Доказательство. Пусть . Согласно условию теоремы, интеграл сходится, поэтому по теореме сравнения для несобственных интегралов сходится также и интеграл , то есть , то есть . Следовательно, при нахождении предела отношения функций и мы можем воспользоваться правилом Бернулли-Лопиталя. Итак, получаем
.
Пусть теперь . Очевидно, что интеграл сходится, то есть , поэтому мы можем воспользоваться правилом Бернулли-Лопиталя:
.
Пример 7. Написать асимптотическое представление функции, заданной интегралом:(записать два члена асимптотики).
.
Поскольку константа нам неизвестна, мы можем только записать
.