Асимптотические формулы для функций, заданных в виде интегралов.

Пусть функция непрерывна на полуоси . Нас будет интересовать поведение функции при .

Теорема. Пусть положительные функции , непрерывны на полуоси . Обозначим , .

Тогда если и при , то при .

Доказательство. Пусть . Согласно условию теоремы, интеграл расходится, поэтому по теореме сравнения для несобственных интегралов расходится также и интеграл , то есть . Следовательно, при нахождении предела отношения функций и мы можем воспользоваться правилом Бернулли-Лопиталя. Итак, получаем

.

Пусть теперь . Если интеграл сходится, то существует конечный предел и . Если же , то воспользуемся правилом Бернулли-Лопиталя:

.

Во всех случаях .

Пример 5. Написать асимптотическое представление функции, заданной интегралом:(записать два члена асимптотики).

Здесь ,

.

Пример 6. Написать асимптотическое представление функции, заданной интегралом:(записать два члена асимптотики).

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

,

.

Так как , то и . Это означает, что и . Окончательно получаем

.

Докажем еще одну теорему:

Теорема. Пусть положительные функции , непрерывны на полуоси . Обозначим , .

Тогда если сходится и при , то при .

Доказательство. Пусть . Согласно условию теоремы, интеграл сходится, поэтому по теореме сравнения для несобственных интегралов сходится также и интеграл , то есть , то есть . Следовательно, при нахождении предела отношения функций и мы можем воспользоваться правилом Бернулли-Лопиталя. Итак, получаем

.

Пусть теперь . Очевидно, что интеграл сходится, то есть , поэтому мы можем воспользоваться правилом Бернулли-Лопиталя:

.

Пример 7. Написать асимптотическое представление функции, заданной интегралом:(записать два члена асимптотики).

.

Поскольку константа нам неизвестна, мы можем только записать

.