Дискретный вариационный ряд

 

Номер интервала i	Среднее значение интервала	Относительная частота	Выборочная оценка плотности вероятности
	149,5	0,005	0,002
	152,5
	155,5	0,025	0,008
	158,5	0,06	0,02
	161,5	0,14	0,047
	164,5	0,16	0,053
	167,5	0,19	0,063
	170,5	0,18	0,06
	173,5	0,08	0,027
	176,5	0,09	0,03
	179,5	0,035	0,012
	182,5	0,015	0,005
	185,5	0,01	0,003
	188,5	0,005	0,002
	191,5
	194,5	0,005	0,002

 

Рис.2

 

На основании полученных выборочных данных сделаем предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычислим теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого найдем выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:

(2)

где n – число испытаний,

- вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.

Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения.

Предположим, что случайная величина Х распределена нормально. В этом случае выравнивающие частоты найдем по формуле:

(3)

где n-число испытаний,

h - длина частичного интервала,

- выборочное среднее квадратичное отклонение,

(- середина i – го частичного интервала)

– функция Лапласа (4)

Результаты вычислений отобразим в таблице №7.

Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.

 

Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной h=3, а на оси Y значения ,расчёт которых представлен в таблице №6. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

 

Таблица 7

Расчёт выравнивающих частот

 

149,5 152,5 155,5 158,5 161,5 164,5 167,5 170,5 173,5 176,5 179,5 182,5 185,5 188,5 191,5 194,5	-18,65 -15,65 -12,65 -9,65 -6,65 -3,65 -0,65 2,35 5,35 8,35 11,35 14,35 17,35 20,35 23,35 26,35	-2,767 -2,322 -1,877 -1,432 -0,987 -0,542 -0,096 0,349 0,794 1,239 1,684 2,129 2,574 3,019 3,464 3,909	0,0087 0,0269 0,0685 0,1431 0,2452 0,3445 0,397 0,3754 0,2911 0,1852 0,0966 0,0414 0,0145 0,0042 0,001 0,0002	0,774 2,395 6,098 12,74 21,83 30,67 35,34 33,42 25,91 16,49 8,599 3,685 1,291 0,374 0,089 0,018	0,0039 0,012 0,0305 0,0637 0,1091 0,1533 0,1767 0,1671 0,1296 0,0824 0,043 0,0184 0,0065 0,0019 0,0006 0,0001

 

 

Рис.3

 

3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя таблицу №3.

Выборочная средняя ():

или , (5)

где - частоты,

а -объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения). По формуле имеем: .

Выборочная дисперсия ():

(6)

 

 

Значит,

=45,44.

Среднеквадратическое отклонение:

= (7)

==6,74.

Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения по формулам:

и (8)

 

==45,67 и S=6,74=6,76.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 определяют по формуле:

P(-tФ(t)= (9)

Из соотношения Ф(z)=/2 вычисляем значение функции Лапласа: Ф(z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа находим z=1,96. Таким образом,

168,15-1,96,

167,2<a<169,1.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находим по формуле:

, (10)

где S – несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения;

q – параметр, который находится по таблице на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки .

На основании данных значений =0,95 и n=200 по таблице (Приложение В) можно найти значение q=0,099. Таким образом,

,

6,15<

 

 

4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 4 и 6) получены оценки параметров нормального распределения, вычисленные выше:

, , S=6,76.

Для расчёта теоретических частот используют табличные значения функции Лапласа Ф(z). Алгоритм вычисления состоит в следующем:

- по нормированным значениям случайной величины Z находим значения Ф(z), а затем :

, =0,5+Ф().

- вычисляем вероятности =P(;

- находим числа , и если некоторое <5, то соответствующие группы объединяем с соседними.

Результаты вычисления , , и приведены в таблице 8.

Вычислим величину хи-квадрат по формуле

= (11)

Из таблицы 8 заключаем, что =15,8.

По таблице (приложения Г) можно найти число по схеме: для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы l=k-r-1=9-2-1=6=12,6. Следовательно, критическая область - (12,6;). Величина =15,8 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.

При α=0,1 =10,6. Критическая область - (10,6;). Величина =11,06 входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х снова отвергается.

При α=0,01 =16,8, (16,8;). В этом случае снова нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.

 

Таблица 8

Определение

 

I			Ф()
	149,5		-0,5		0,003	0,003	0,6	-
	149,5 152,5		-0,497	0,003	0,01	0,007	1,4	-
	152,5 155,5		-0,49	0,01	0,031	0,021	4,2	-
	155,5 158,5		-0,469	0,031	0,076	0,045		5,57
	158,5 161,5		-0,424	0,076	0,164	0,088	17,6	1,78
	161,5 164,5		-0,336	0,164	0,295	0,131	26,2	0,12
	164,5 167,5		-0,205	0,295	0,46	0,165		0,03
	167,5 170,5		-0,04	0,46	0,637	0,177	35,4	0,19
	170,5 173,5		0,137	0,637	0,785	0,148	29,6	1,38
	173,5 176,5		0,285	0,785	0,893	0,108	21,6	1,45
	176,5 179,5		0,393	0,893	0,954	0,061	12,2	2,76
	179,5 182,5		0,454	0,954	0,983	0,029	5,8	2,5
	182,5 185,5		0,483	0,983	0,995	0,012	2,4	-
	185,5 188,5		0,495	0,995	0,999	0,004	0,8	-
	188,5 191,5		0,499	0,999		0,0006	0,12	-
	191,5 194,5		0,5			0,0003	0,06	-
	194,5		0,5			0,0001	0,02	-

,0000

2 часть

1) Данные таблицы 2 сгруппируем в корреляционную таблицу 9.

2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек (рисунок 4).

По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде .

3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.

Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания.