МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Л Е К Ц И Я 11

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

 

Мы хотим найти матрицы спиновых операторов в явном виде. Для этого решим сначала более общую задачу - найдем матрицы операторов момента и , которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

[,]=i, [,]=i, [,]=i, [,]=, (пока =1!).

 

Пользоваться будем только этими коммутационными соотношениями. Так как и коммутируют, то можно искать их общие собственные векторы:

 

|,mñ = J²|,mñ, |,mñ = m|,mñ.

 

Пусть J² фиксировано. Это означает, что мы рассматриваем подпространство всех векторов состояний, в которых J² имеет определенное значение, а m изменяется. Векторы |,mñ образуют в таком подпространстве базис. Ближайшая цель - найти матрицы операторов в этом базисе, который называется каноническим, и который для краткости обозначим как |mñ.

Для ее решения удобно ввести операторы

 

₊ = ₁ + i₂, _{_} = ⁺₊ = ₁ - i₂,

 

которые, как легко показать прямой проверкой, удовлетворяют коммутационным соотношениям

 

[_{+,_}] = 2₃, [_{_,3}] = _{_}, [₃,₊] = ₊.

 

Покажем, что

₊|mñ = a_m|m+1ñ, _{_}|mñ = b_m|m-1ñ,

 

где a_m и b_m - некоторые числа, которые без ограничения общности можно считать вещественными. Имеем, используя коммутационное соотношение,

 

₃(_{_}|mñ) = (_{_0}-_{_})|mñ = (_-m-_{_})|mñ = (m-1)(_{_}|mñ),

и аналогично

₃(₊|mñ) = (m +1)(₊|mñ).

 

Таким образом, _{_}|mñ и ₊|mñ - собственные векторы оператора с собственными значениями m-1 и m+1 соответственно, что фактически и утверждалось.

Теперь задача отыскания матриц операторов свелась фактически к нахождению чисел a_m и b_m и спектра оператора ₃. Учитывая, что базисные векторы предполагаются нормированными, имеем:

ám|⁺₊|m+1ñ = a_mám+1|m+1ñ = a_m = ám|_{_}|m+1ñ = b_m+1 = b_m+1,

 

откуда вытекает соотношение между b_m и a_m:

b_m+1 = a_m.

 

Чтобы получить числа a_m , проделаем следующую выкладку:

 

₊|m-1ñ = a_m-1|mñ = _{+_}|mñ = (_{_+}+2₃) |mñ =

 

= (b_m+1a_m + 2m)|mñ,

 

или, с учетом предыдущего равенства,

 

a²_m-1 - a²_m = 2m.

 

Получили рекуррентное соотношение для a_m. Введем обозначение

 

j = max m,

 

и сложим все предыдущие равенства от m = j до произвольного m + 1:

 

a²_m - a²_j = 2j + 2(j - 1) +...+ 2(m +1) = j(j +1) - m(m +1).

 

Учтем теперь, что a_j = 0, так j - это максимальное m,

 

₊| j ñ = a_j| j + 1ñ,

 

и если бы a_j ¹ 0, то мы получили бы еще большее m, равное j+1. Поэтому

 

a²_m = j(j +1) - m(m +1)

и

b²_m = a²_m-1 = j(j +1) - m(m - 1).

 

Таким образом, операторы ₊, _{_} и ₃ действуют на базисные векторы |mñ по закону

₊|mñ = |m+1ñ,

 

_{_}|mñ = |m-1ñ,

 

₃|mñ = m|mñ.

Действуя последовательными степенями _{_} на |jñ, получим набор собственных векторов

 

|jñ, |j-1ñ, |j-2ñ,....

 

Последним в нем будет вектор |-jñ, так как из второй полученной формулы следует _{_}|-jñ=0. Таким образом, наименьшим собственным значением оператора ₃ является число -j:

 

min {m} = -j.

 

Так как при таком построении число m на каждом этапе уменьшается на 1, то разность j-(-j)=2j должна быть целым числом, откуда j - целое или полуцелое число. Размерность подпространства с фиксированным значением j равна 2j+1 ( именно столько векторов |mñ оно содержит), т.е. она определяется максимальным собственным значением оператора ₃.

Докажем теперь, что каждый из векторов |mñ действительно является собственным для оператора ( ведь мы его так обозначили лишь для краткости, а на самом деле это |,mñ), и найдем соответствующее собственное значение ( оно должно быть единым, ибо - фиксировано). Для этого перепишем в виде

 

=₁ +₂ +₃ =_{+_} - ₃ +₃.

 

Действуем этим оператором на произвольный базисный орт:

 

|mñ = (_{+ -}-₃+₃)|mñ = (a_m-1b_m-m+m²) |mñ = (b²_m -m+m²) |mñ.

 

Подставляя сюда найденное ранее b²_m, получим

 

|mñ = j(j +1)|mñ.

 

Таким образом, все |mñ действительно собственные векторы для , причем они обладают одним и тем же собственным значением, как это и должно быть. Это собственное значение равно j(j +1).

Подведем предварительные итоги. По отношению к действию оператора квадрата момента все пространство разбивается на подпространства, в которых он кратен единичному оператору:

= j(j +1).

 

Размерность каждого подпространства равна 2j+1, где j - произвольное (но фиксированное для подпространства) целое или полуцелое число. Канонический базис в каждом подпространстве образует собственные векторы оператора ₃, собственные значения которого меняются через 1 в пределах

-j £ m £ j.

Эти собственные векторы будем обозначать как |jmñ, куда входит и индекс подпространства j и индекс базисного орта m. Для них

 

|jmñ = j(j +1) |jmñ, ₃|jmñ = m|jmñ.

 

Произвольный вектор |yñ гильбертова пространства состояний можно разложить по всем таким базисным ортам:

|yñ = C_jm|jmñ.

 

Найдем теперь матрицы операторов момента в построенном базисе. Умножая формулы

₊|mñ =|m+1ñ,

 

_{_}|mñ =|m-1ñ,

 

₃|mñ =m|mñ.

 

слева на án| и, учитывая ортонормированность базиса,

 

án| mñ = d_nm,

получим

án|₊^(j)|mñ º ( J₊^(j))_nm = d_n,m+1

 

án|_{_}^(j) | mñ º (J_{_}^(j))_nm = d_n,m-1

 

án|₃^(j) | mñ º (J₃^(j))_nm = md_n,m.

 

Имея в виду, что

₁ = (_{_}+₊), ₂ = (_{_}+₊)

 

и восстанавливая теперь , которое мы раньше для простоты записи положили равным 1, придем к следующему окончательному результату:

 

( J₁^(j))_nm =d_n,m+1 +d_n,m-1

 

(J₂^(j))_nm = -d_n,m+1 +d_n,m-1

 

( J₃^(j))_nm = m d_n,m

 

( J^2(j))_nm = ²j(j+1) d_n,m.

 

Здесь перечислены все возможные матрицы операторов момента, которые будут получаться, когда j пробегает значения 0, 1/2, 1, 3/2,.... Когда мы рассматривали орбитальный момент, то для него получили только целые значения j , которые обозначились как l. Но оказывается, что полуцелые значения также имеют глубокий смысл - они соответствуют спиновому моменту (разумеется, у некоторых частиц спин может быть и целым, но его природа совсем другая, чем природа орбитального момента).

Ввиду важности для дальнейшего, выпишем матрицы операторов момента для случая j = 1/2, когда m принимает значения m = +1/2 и m= -1/2. Делается это так:

(J₁)₁₁ º (J₁)_{+1/2, +1/2} = d_1/2,3/2 + d_1/2,-1/2 = 0.

 

 

= .

В итоге получим

 

J₁ =, J₂ = , J₃ = , J² =3/4 ² .

 

Если ввести матрицы Паули

 

s₁ = , s₂ = , s₃ = ,

 

то можно будет записать

J_k = s_k, J² = s².

 

СПИН

До сих пор мы считали, что всякая квантовая частица имеет три степени свободы. Это подразумевало, что полный набор включает три наблюдаемых - например, x,y,z. Это, в свою очередь, и позволяло описывать состояния частицы в координатном представлении одной волновой функцией

y = y(x,y,z) º y(r).

 

Но постепенно выяснилось, что у микрочастиц число степеней свободы больше трех. Об этом свидетельствовали: (а) опыты Штерна-Герлаха, (б) дублетная структура спектров у щелочных металлов - например, наличие в спектре натрия яркого желтого дублета, (в) аномальный эффект Зеемана - расщепление не на три линии, а на большее количество. После долгих мучений В. Паули ввел представление о «характерной двузначности» электрона, т.е. об удвоении числа его состояний. Но было неясно, что же это такое на самом деле. В 1925 г. Гаудсмит и Улэнбек предположили, что у электрона есть собственный (а не только) орбитальный момент импульса - спин, равный 1/2. Вскоре Паули построил соответствующий математический аппарат. Не нужно думать, что спин связан с каким-то вращением электрона - эта модель сразу приводит к противоречиям: например, скорость на «экваторе» электрона должна быть больше скорости света. Спин есть специфическая квантовомеханическая величина, не имеющая никаких классических аналогов и только по своим формальным свойствам совпадающий с некоторым моментом импульса. Важно сознавать также, что орбитальный момент - характеристика состояния частицы (грубо говоря, определяется ее движением), а спин не зависит от состояния. Это есть ее внутренняя, врожденная характеристика, подобная массе или электрическому заряду.

Разовьем общий спиновый формализм. Итак, записываем теперь волновую функцию как

 

y = y(r,s),

 

где s - новая, спиновая переменная. На нее действуют спиновые операторы

₁, ₂, ₃ и ² = ₁ ² +₂² +₃².

 

В конце прошлой лекции мы видели, что они должны удовлетворять тем же коммутационным соотношениям, что и операторы момента:

[_j,] = ie_{jkl l} ; [_j,²] = .

 

Поскольку спин - внутренняя характеристика частицы (а не характеристика состояния), то волновую функцию ее нужно снабдить соответствующим индексом, записывая

 

y = y_S(r,).

 

Эта функция должна быть собственной для оператора ²(значение спина раз и навсегда фиксировано):

 

²y_S(r,) = ²s(s+1) y_S(r,),

 

где S - полуцелое или целое число (значение его определяется типом частицы). В качестве базисных элементов в пространстве спиновых переменных можно выбрать собственные векторы оператора ₃ - проекции спина (тем самым, эта наблюдаемая наряду с координатами включается в полный набор):

₃y_Ss(r,) = y_Ss (r,)

 

Значения меняются через 1 в интервале

 

-s £ £ s,

 

и всего имеется 2+1 спиновых независимых состояний.

Волновую функцию любого состояния частицы со спином будем записывать в виде матрицы-столбца из 2s+1 строк:

y_S(r,) = .

 

Если спиновые и пространственные переменные независимы (отсутствует так называемое спин-орбитальное взаимодействие, ответственное за тонкую структуру спектров), то координатная зависимость у волновой функции будет единой, и ее можно вынести:

y_S(r,) = y(r)º y(r)c_s

Матрица - столбец

c_{s =}

 

называется спиновой волновой функцией. В общем случае условие нормировки волновой функции y_S записывается как

 

|y_i(r)|²dV = 1.

 

Смысл каждого слагаемого очевиден: это вероятность обнаружить частицу в данном спиновом состоянии. Если спиновые переменные и координаты расцепляются, то функция y(r) нормируется обычным образом:

|y(r)|²dV = 1,

 

а спиновая волновая функция нормируется так:

= 1,

 

где смысл каждого слагаемого тот же. Это условие нормировки можно записать иначе:

(c,c) = c⁺c = 1,

где c⁺ - матрица-строка, транспонированная к матрице-столбцу c:

 

c⁺ = (c₁^*,c₂^*,...c_2s+1^*).

Спиновую волновую функцию можно записать в виде

 

c _{= º} c₁е₁ +...c_ne_n,

 

где столбики с одной единицей и остальными нулями имеют смысл базисных векторов в спиновом пространстве. Имея в виду, что

 

(S₃)_nm = md_nm

 

(см. выше - в общей теории момента), то матрицей оператора ₃ в каноническом базисе является

 

(S₃)_nm = .

Легко видеть, что каждый из базисных векторов является собственным вектором для этой матрицы, причем собственное значение для него определяется номером места, на котором стоит 1: у е₁ оно равно S, у е₂ - S-1,...у е_2s+1 - равно -S. Поэтому целесообразнее ввести обозначения

c_S º |c_S ñ = = c_S,S + c_S,S-1+ c_S,-Sº

 

º c_S,S |c_S,S ñ + c_S,S-1 |c_S,S-1 ñ + ...+ c_S,-S |c_S,-S ñ,

 

где |c_S,mS ñ - базисные векторы, описывающие состояния со спином S и его проекцией m_S, а c_S,mS - числа, т.е. коэффициенты разложения спиновой функции |c_Sñ по базисным векторам. Величина |c_S,mS|² есть вероятность обнаружить частицу в состоянии с проекцией спина, равной m_S . Базис является ортонормированным:

 

ác_S,mS |c_S,m¢_Sñ = d_ms,ms¢

 

и удовлетворяет условию полноты:

=.

Все прочие операторы спина, как и ₃, изображаются матрицами. Их вид был получен при рассмотрении общей теории момента:

 

(S₁)_msms = d_ms,S+1+

 

+d_m,m¢s-1

 

(S₂)_msms¢¢ = -d_ms,m¢s+1

 

+ d_m,m¢s-1

 

(S₃) _msms¢ = m_sd_ms,m¢s, (S²) _ms,m¢s = ²S(S+1) d_ms,m¢s.

 

В важнейшем частном случае спина S = 1/2 (электрон, протон, нейтрон и многие другие частицы) волновые функции являются столбцами из двух чисел, а спиновые операторы выражаются через матрицы Паули, как это было показано в самом конце общей теории. Отметим следующие свойства матриц Паули:

 

1. Они эрмитовы

s_j⁺ = s_j

 

2. След каждой равен нулю

Sp(s_j) = 0,

 

3. Квадрат каждой матрицы Паули равен единичной матрице

s_j² = ,

 

4. Разные матрицы Паули антикоммутируют

s_js_k + s_ks_j = 0, j ¹ k,

 

5. Свойства 3 и 4 совместно записываются как

s_js_k + s_ks_j = 2d_jk ,

 

6. Матрицы Паули удовлетворяют коммутационным соотношениям

[s_j,s_k] = 2e_jkls_l,

 

7. Произведение двух разных матриц Паули равно (с точностью до множителя) третьей

s₁s₂ = is₃, s₃s₁ = is₂, s₂s₃ = is₁.

 

СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ

Пусть система состоит из двух частей, которым соответствуют полные моменты (1) и (2). Так как эти операторы действуют только на свои переменные, то…   [(1), (2)] = ,