КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ

 

В качестве примера применения метода ВКБ вычислим коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы (а не прямоугольной). При этом считаются выполненными условия квазиклассичности, т.е. барьер - достаточно плавный. Это значит, помимо всего прочего, что он широкий, и что энергия много меньше высоты барьера. Идея: задаем волновую функцию в области I в виде суперпозиции падающей и отраженной волн, «протягиваем» ее по полученному рецепту в область II, а затем по несколько модифицированному рецепту в область III и требуем, чтобы там не было отраженной волны.

 

I. y_I(x) = [sin (z +) +cos(z +)]

º y_пад(x) + y_отр(x).

 

z = p(y)dy, B₀ = 1/2(b+ia), B₁ = 1/2(b-ia)

II. y_II(x) =

 

|z| = |p(y)dy|, ;

 

y_II(x) =

III. y_III (x) = ,

 

 

Но в области III не должно быть отраженной волны (по постановке задачи - частицы падают из -µ, частично отражаются, а частично уходят на +µ). Поэтому

= 0 Þ = -i;

 

;

B₀=1/2 (b+ia) = (1/4 e^-2g +1)

 

B₁ = 1/2 (b-ia) = (1/4 e^-2g - 1).

 

Таким образом, все коэффициенты выражаются через a, который можно (но в данной задаче не нужно) найти из условия нормировки:

 

b =

 

.

 

Здесь следует выделить B₀ (коэффициент при падающей волне) и (коэффициент при отраженной волне). Вводим коэффициенты прохождения и отражения

D = , R = ,

 

где токи выражаются через соответствующие волновые функции:

 

j = .

 

Подставляя найденные коэффициенты получим

 

D = ,

R =

 

Но здесь произошло некоторое превышение точности. В частности, D+R¹1, в противоречии с сохранением вероятности (куда делись частицы?). Однако нужно учесть, что

 

g = >>1.

 

Тогда равенство D+R=1 , будет выполняться с точностью до слагаемых типа exp(-2g) и exp(-4g), которые тем самым нужно отбросить. Их нужно отбросить и в выражении для D, для которого окончательно получаем

D = e^-2g = exp.

 

Это весьма важная формула, и она часто применяется - например, при анализе альфа-распада ядер, механизм которого, как известно, туннельный.