МЕТОД АНАЛОГИЙ

Лекция 6

МЕТОД АНАЛОГИЙ

Понятие о методе; виды аналогий;

Использование метода в научных исследованиях.

Сходство математического описания таких явлений не является простым совпадением, а заложено в их природе. Общность законов сохранения массы,… Все процессы, описывающиеся одинаковыми математическими выражениями, являются… Методом аналогии или аналоговым экспериментом называется метод исследования, заключающийся в получении информации об…

Uw =Uw(хТ, уТ).

В граничных условиях II рода задаётся распределение плотности теплового потока на поверхности тела и распределение плотности электрического тока на поверхности тела и на границе электрической модели:

q_w = -λ= q_w(х_Т,у_Т);

i_w = -σ= i_w(х, у),

где n_Т и n – нормали к поверхности тела и к границе электрической модели.

Граничными условиями III рода задаётся температура среды, омывающей тело Т_f, и коэффициент теплоотдачи α на поверхности тела, и соответственно электрический потенциал на границе модели U_f и добавочное сопротивление R_α, имитирующее сопротивление теплоотдачи R_αt = 1/α. Математическая запись граничных условий III рода имеет вид:

-λ= α(T_f – T_W)$

-σ= ?

где S – площадь граничной поверхности электрической модели.

При граничных условиях IV рода задаётся равенство температур и тепловых потоков и соответствующих электрических потенциалов и плотностей электрического тока на границах контактирующих тел.

Рассмотрим применение метода аналогий к граничным условиям III рода. Приведём математические описания процессов тепло- и электропроводности к безразмерному виду. За масштабы преобразований примем максимальные избыточные параметры

θ₀ = Т₁ – Т₂ и V₀ = U₁ – U₂,

характерные линейные размеры тела ℓ_OT и модели ℓ₀, масштабные значения коэффициентов теплопроводности λ₀ и электропроводности σ₀.

В безразмерном виде дифференциальные уравнения примут вид:

= 0,

Где – относительная избыточная температура,

– относительный избыточный потенциал,

, – безразмерные координаты в тепловой системе,

, – безразмерные координаты модели.

Геометрические условия представляются отношениями:

, , …; , , …

Физические условия:

,

Граничные условия III рода:

; ,

где – критерий Био;

– электрический аналог критерия Био

Сопоставляя безразмерные дифференциальные уравнения и условия однозначности, можно заключить, что при численном равенстве выражений для условий однозначности решения уравнений будут тождественны. То есть для всех сходственных точек тела и электрической модели численные значения температуры и потенциала в безразмерном виде будут равны между собой, и решение тепловой задачи можно заменить измерениями в электрической модели. Необходимыми и достаточными условиями для существования такой аналогии являются равенства:

=; =; =…,

= ;

Для решения тепловой задачи с помощью электрического аналога строится модель, геометрически подобная тепловой системе. Материалом для неё служат электропроводные материалы. Наибольшее распространение получило изготовление электрических моделей из электропроводной бумаги. Постоянство коэффициента теплопроводности обеспечивается однородностью теплопроводящих свойств бумаги. Существующая неоднородность отдельных её участков компенсируют применением при построении модели нескольких слоёв бумаги.

Моделирование граничных условий третьего рода осуществляется путем подачи напряжения соответствующего температуре среды. Сопротивление теплоотдачи имитируют тем что между шиной на которую подается напряжение и моделью включают дополнительное сопротивление из электропроводной бумаги, имитирующее сопротивление теплоотдачи. Это дополнительное сопротивление для исключения протечек электрического тока разбивается прорезями на отдельные полоски, то есть этот дополнительный слой имеет форму гребёнки.

Масштаб модели С = Х/Х_Т = У/У_Т = ℓ₀/ ℓ_0Т выбирается из соображений удобства монтажа и последующих измерений. Поскольку электропроводная бумага, используемая при электромоделировании, обычно обладает некоторой неоднородностью по удельной проводимости σ, то для повышения точности решения применяют многослойные модели.