Использование метода в научных исследованиях.

Явления разной физической природы могут иметь одинаковое математическое описание. Такие явления принято называть аналогичными.

Сходство математического описания таких явлений не является простым совпадением, а заложено в их природе. Общность законов сохранения массы, количества движения, энергии, общность законов переноса вещества, энергии и т.п. в физических полях, приводят к тому, что распределении температуры, концентрации, потенциала скорости, электрического потенциала и т.д. в однородных физических полях, описываются одинаковыми по форме математическими выражениями.

Все процессы, описывающиеся одинаковыми математическими выражениями, являются аналогичными, физические величины, входящие в эти выражения, являются величинами-аналогами, и соответственно исследование любого их этих процессов может быть заменено изучением другого аналогичного процесса.

Методом аналогии или аналоговым экспериментом называется метод исследования, заключающийся в получении информации об исследуемом явлении путём экспериментального изучения более доступного для этой цели аналогичного явления с помощью специально построенной для этой цели аналоговой модели.

Для установления количественной связи между величинами - аналогами математические выражения (дифференциальные уравнения и условия однозначности) приводятся к безразмерному виду, при котором выявляются масштабные коэффициенты (масштабы моделирования), позволяющие делать пересчёт параметров одного физического явления в соответствующие параметры аналогичного явления.

В качестве примеров аналогового эксперимента можно привести использование аналогии теплоотдачи и массоотдачи для изучения процессов теплоотдачи в аппаратах, использование для решения аэродинамических задач магнитогидродинамической аналогии и газо-гидродинамической аналогии, причём последняя применима как для изучения дозвуковых, так и сверхзвуковых течений газа.

Наиболее широкое распространение получили методы электрического моделирования. В этих методах исследование тепловых, гидродинамических, гидравлических, акустических, магнитных и других неэлектрических полей заменяется изучением электрических полей.

Преимуществом электрического моделирования является то, что электрические измерения осуществляются достаточно просто, с высокой точностью, а сами модели отличаются стабильностью свойств, компактностью и универсальностью за счёт лёгкости перестройки и настройки элементов электрических цепей.

Различают собственно аналоговое моделирование и квазианалоговое моделирование. В первом варианте аналогия процессов в натурном явлении и модели заложена изначально, и не нарушается в течение всего времени эксперимента. В квазианалоговой модели аналогия между натурой и моделью обеспечивается дополнительной настройкой модели до получения аналогии. В качестве элементов квазианалоговой модели могут использоваться электрические устройства с ручным управлением или цифроуправляемые устройства, настраиваемые с помощью ЭВМ.

При создании электрической модели применяют два способа:

- моделирование на сплошных средах;

- построение электрических сеток.

В первом случае модель в определённом масштабе воспроизводит геометрию исследуемой системы и изготавливается из материала с непрерывной проводимостью (электропроводная бумага, фольга, электролит и т.д.). Такая модель называется моделью с непрерывными параметрами процесса.

Во втором случае модель собирают в виде электрических цепей из резисторов (R-сетки), или резисторов и конденсаторов (R,C-сетки). Такая модель носит название модели с сосредоточенными параметрами. Принцип её действия основан на воспроизведении электрическими цепями конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый процесс. Применяются также комбинированные модели, сочетающие сплошные модели с сеточными.

Электрические модели с непрерывными свойствами применяют для исследования одно- и двумерных стационарных полей, а сеточные позволяют решать и более сложные пространственные задачи по определению как стационарных, так и нестационарных моделей. Кроме того, преимуществом сеточных моделей является возможность построения гибридных аналого-цифровых комплексов.

Методы электромоделирования позволяют решать как прямые, так и обратные задачи. В прямых задачах на основе решения заданного математического описания (дифференциальных уравнений и условий однозначности) определяется поле потенциала (температуры, скорости и т.д.). В обратных задачах по известному полю потенциала определяются граничные условия, например, коэффициент теплоотдачи на поверхности тела.

Ещё одним направлением аналогового электромоделирования является моделирование с помощью электрических цепей непосредственно уравнений, описывающих исследуемый процесс. Это моделирование осуществляется с помощью аналоговых вычислительных машин (АВМ). АВМ содержит функциональные блоки, моделирующие отдельные алгебраические, дифференциальные, интегральные операторы. Поступающие в функциональные блоки входные сигналы преобразуются в выходные сигналы, соответствующие конкретному математическому действию над первыми. Эти функциональные блоки соединяют между собой структурные цепи в соответствии со структурой решаемого уравнения. В отличие от моделирования на сплошных средах и на электрических сетках, моделирование на АВМ позволяет использовать при решении задач более сложные математические описания исследуемых явлений.

Перспективным направлением развития вычислительных методов является расширение возможностей как аналоговых устройств, так и ЭВМ на основе объединения электрических сеточных моделей или АВМ с цифровыми вычислительными машинами в проблемно ориентированные гибридные аналого-цифровые вычислительные этом случае достигается объединение более высокой точности ЭВМ с быстротой решения задачи с помощью аналоговых устройств.

Выбор методов и средств моделирования определяется требуемой точностью результатов и кратностью применения этих средств моделирования. По сравнению с численными методами, основанными на применении ЭВМ, и аналоговыми методами с применением АВМ моделирование на электрических моделях (сплошных и сеточных) является наименее точным и наименее универсальным. Однако если погрешность в 2-5 % оказывается допустимой, то этот метод следует признать эффективным, поскольку решение поставленных задач, связанных с решением достаточно сложных дифференциальных уравнений сводится к сравнительно несложному физическому эксперименту.

Модели с непрерывными свойствами

 

Стационарные двумерные поля температуры в однородной среде с постоянным коэффициентом теплопроводности (λ = const) и поля электрического потенциала в однородной электропроводящей среде с постоянной электропроводностью (σ = const) описываются дифференциальными уравнениями Лапласа

где Т – температура, U – электрический потенциал, подстрочный индекс Tотносится к тепловой системе.

Наряду с дифференциальными уравнениями математическая формулировка стационарных задач теплопроводности и электропроводности включает условия однозначности – геометрические, физические и граничные.

Геометрическими условиями задаются форма и размеры тела и электрической модели:

ℓ_1Т, ℓ_2Т, ℓ_3Т..........., ℓ_1, ℓ_2, ℓ₃…………

Физическими условиями задаются числовые значения теплопроводности и электропроводности:

λ = const σ = const.

Граничные условия могут быть заданы одним из четырёх возможных способов.

В граничных условиях I рода задаётся распределение температуры и соответственно электрического потенциала на поверхности тела и на границе электрической модели:

Т_w = Т_w(х_Т, у_Т),