МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Способы проверки полученных результатов

При проведении физического, аналогового или математического эксперимента даже использование самых современных средств измерений, тщательно проверенных методик проведения эксперимента и обработки его результатов, отлаженных и апробированных вычислительных программ для ЭВМ и т.д. не гарантирует от получения недостоверных результатов. Причинами получения недостоверных данных могут быть: выход из строя средств измерений во время эксперимента, промахи, допущенные при снятии показаний приборов, ошибки, допущенные при подготовке исходных данных для аналогового или математического эксперимента, сбой в работе ЭВМ, потеря устойчивости вычислительного алгоритма и пр.

Для того чтобы исключить влияние указанных случайностей на результаты экспериментов, исследователь должен предусмотреть систему проверок результатов эксперимента.

Применение законов сохранения. Возможна проверка только тех опытных данных, для которых можно записать одно или несколько уравнений сохранения (уравнения сохранения массы, количества движения, энергии, электрического заряда и т.д.). Критерием достоверности результатов эксперимента является удовлетворение их с требуемой точностью уравнению сохранения.

Использование известных закономерностей поведения исследуемой величины. Иногда еще до проведения эксперимента теоретически или из анализа физической природы явления можно определить значение исследуемой величины в некоторых характерных точках системы, например ее предельное значение, а также оценить степень влияния на нее различных факторов. Так, сила тока равна нулю при нулевом напряжении, тепловой поток между телами равен нулю при отсутствии между ними перепада температуры и неограниченно возрастает при его неограниченном увеличении и т.д.

Проверка результатов эксперимента рассматриваемым методом заключается в сопоставлении данных, полученных в процессе исследования, с имеющимися сведениями о характере их изменения.

Анализ резко отклоняющихся значений. Практически почти в каждом эксперименте среди опытных данных содержится некоторое число точек, существенно отклоняющихся от общей закономерности. Часть этих точек или даже все они могут быть ошибочными, и их следует отбросить, чтобы они не могли, исказить результатов эксперимента и повлиять на окончательные выводы. Однако при отбрасывании таких точек существует риск исключить верные данные и потерять важные результаты, поскольку отклонение опытных точек может быть обусловлено физической природой явления, поэтому при их выбраковке следует руководствоваться следующими правилами:

а) резко отклоняющиеся точки необходимо исключить из дальнейшего рассмотрения, если их ошибочность подтверждена с помощью какого-либо другого метода;

б) если подтвердить ошибочность опытных точек с помощью других методов не удалось, то точки, лежащие вблизи границ диапазона изменения в экспериментах влияющего параметра, необходимо сохранить, так как они могут характеризовать особенности изучаемого явления; точки, лежащие в середине этого диапазона, следует сохранить только в том случае, если статистический анализ данных подтверждает принадлежность этих точек и всей остальной массы к одной и той же совокупности.

После получения достаточного количества экспериментальных данных и отсева ошибочных результатов проводят их дальнейший анализ и обработку. Для этого приходится аппроксимировать опытные данные аналитической функцией, выполнять операции интерполяции и экстраполяции, дифференцировать и интегрировать полученные результаты и т.д.

Аппроксимация результатов эксперимента. Аппроксимации экспериментальных результатов должно предшествовать изучение характера их поведения на определенном участке изменения аргумента и его сопоставление с характером изменения хорошо изученных функций. Вид аппроксимирующей функции Р(х) выбирается на основе этого сопоставления, а если возможно, то и исходя из условия соответствия физической природе явления или имеющимся представлениям об особенностях поведения исследуемой величины.

Близость значений функции Р(х) и экспериментальных результатов φ(x_i) в точках x = x_i обеспечивается введением в аппроксимирующую функцию n свободных параметров a_n и соответствующим их выбором.

Существуют два различных способа нахождения свободных параметров. Выбор того или иного из них определяется целями и задачами, стоящими перед исследователем, точностью полученных результатов, их количеством и т.д.

Первый способ базируется на удовлетворении условию, чтобы функция Р(х, а) совпадала с экспериментальными значениями в n точках, выбранных в качестве опорных (число свободных параметров не должно превышать числа имеющихся опытных точек). В этом случае для определения n неизвестных значений параметров a_n используется система n уравнений

 

(9.1)

 

После определения численных значений параметров а_n проверяется качество аппроксимации путем сопоставления значений функции и экспериментальных данных в оставшихся точках х_i рассматриваемого интервала. Если обнаруженные между ними расхождения превышают допустимые по условиям точности, то аппроксимацию следует повторить, приняв в качестве опорных другие точки или увеличив число свободных параметров.

В предельном случае, когда число свободных параметров равно числу экспериментальных точек в рассматриваемом интервале изменения аргумента, все экспериментальные точки будут совпадать со значениями функции. Следует заметить, что добиваться точного совпадения значений функции и экспериментальных данных путем значительного увеличения числа свободных параметров часто неразумно, поскольку экспериментальные результаты получены с большей или меньшей погрешностью, и такая функция может не отражать действительного характера изменения исследуемой величины (кривая 1 на рис. 1). На этом рисунке σ – среднеквадратичная погрешность результатов эксперимента.

Второй способ определения свободных параметров основан на выполнении требования, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от соответствующих значений аппроксимирующей функции была минимальной. Этот способ носит название метода наименьших квадратов. Заметим, что можно оперировать и суммой других четных степеней этих отклонений (невязок), но тогда вычисления будут сложнее, однако руководствоваться суммой самих невязок нельзя, так как она может оказаться малой и при больших отклонениях противоположного знака.

 

Рис. 9.1. Аппроксимация опытных данных представленных точками:

1 – аппроксимирующая функция с большим числом свободных параметров;

2 – аппроксимирующая функция с небольшим числом свободных параметров, определенная методом наименьших квадратов

 

Математическая запись приведенного выше требования имеет вид

 

(9.2)

 

где N – число экспериментальных точек в рассматриваемом интервале изменения аргумента х.

Неизвестные значения свободных параметров а_n определяются в результате решения задачи на поиск минимума функции s. Необходимыми условиями экстремума функции являются

 

(9.3)

Из физического смысла решаемой задачи следует, что условиям (9.3) соответствует минимум функции s.

Таким образом, для определения n неизвестных параметров а_n имеется система n уравнений. Часто в качестве аппроксимирующей выбирается функция вида

(9.4)

Применительно к выражению (7.4) система уравнений (7.3) примет вид

(9.5)

После несложных преобразований системы уравнений (9.5) получается

(9.6)

Система (9.6) представляет собой систему n уравнений первой степени с n неизвестными значениями параметров а_n .Величины N, х_i, φ(х_i) известны из эксперимента. При n≤N система имеет единственное решение, которое может быть получено с использованием ЭВМ. При n = N численные значения свободных параметров, определенных по первому и второму способам, идентичны, а все опытные точки совпадают с аппроксимирующей зависимостью. При n > N системы уравнений (9.1), (9.3) и (9.6) переопределены и допускают множество решений. Так же как и в предыдущем случае, стремиться к значительному увеличению числа свободных параметров обычно нецелесообразно не только из-за существенного усложнения аппроксимирующей функции и ее дальнейшего использования, но и из-за того, что хорошее сглаживание погрешностей эксперимента будет иметь место лишь в случае n << N. В то же время для удовлетворительного описания достаточно сложного характера изменения определенной опытным путем величины требуется увеличить число n.

Оптимальное число свободных параметров определяют из условия , где – среднеквадратичное отклонение опытных точек от аппроксимирующей зависимости s – среднеквадратичная погрешность эксперимента.

Условие d_n >> σ означает, что математическая погрешность аппроксимации много больше погрешности опытных данных, поэтому следует увеличить число свободных параметров. При d_n << σ часть свободных параметров недостоверна и надо уменьшить n. Если при выбранном исходя из указанных соображений значении n выполняется условие n << N, то вид аппроксимирующей функции выбран удачно. При n » N следует подобрать более подходящий вид аппроксимирующей функции.

Пример аппроксимации опытных данных функцией вида (9.4) методом наименьших квадратов с числом параметров n = 2, близким к оптимальному, показан на рис. 9.1 (линия 2).

В тех случаях, когда отыскивается функция, зависящая от нескольких факторов, задача несколько усложняется, хотя рассмотренные выше применительно к функции одного переменного принципы сохраняются и здесь. При достаточно большом числе влияющих факторов оправдано использование теории планирования эксперимента, открывающей возможность отыскания аппроксимирующей функции наиболее рациональным путем с одновременным контролем качества аппроксимации.

Дифференцирование и интегрирование. При численном дифференцировании таблицы экспериментальных данных возможность получения приемлемых результатов часто ограничена, так как последние очень чувствительны к погрешностям эксперимента. Удовлетворительные результаты в этом случае могут быть получены лишь после выполнения каким-либо способом операции сглаживания результатов эксперимента, например, графическим путем или с помощью их аппроксимации методом наименьших квадратов функцией с относительно небольшим числом свободных параметров (n << N). Последний способ удобен еще и потому, что позволяет проводить дифференцирование полученной функции аналитически.

Интегральные характеристики гораздо менее чувствительны к погрешностям эксперимента, поскольку погрешности противоположного знака компенсируют друг друга; поэтому возможно численное интегрирование таблицы экспериментальных результатов без их предварительного сглаживания. Однако если ранее была получена аппроксимирующая функция, то операцию интегрирования удобно проводить над ней аналитическим способом.