Графический анализ

 

Редкое экспериментальное исследование обходится без построения графиков и их анализа. Обладая большой простотой и наглядностью при небольших затратах труда, графический способ анализа позволяет получить решение многих из стоящих перед исследователем задач. По сравнению с математическими приемами анализа графический способ обладает невысокой точностью, поэтому его наиболее целесообразно использовать в процессе предварительной обработки данных для выявления качественных закономерностей исследуемого явления, для иллюстрации результатов математического анализа и представления полученных результатов.

Для того, чтобы с помощью графика можно было получить максимум информации об исследуемом явлении, его размеры, масштабы для координатных осей и разметка шкал должны быть выбраны такими, чтобы цена наименьшего деления соответствовала примерно значению среднеквадратичной погрешности исследуемой величины. Если будет выбран значительно более крупный или мелкий масштаб, то соответственно в первом случае большой разброс опытных точек может затруднить или даже сделать невозможным установление закономерности изменения исследуемой величины, а во втором случае случайные отклонения полностью сгладятся и из графика невозможно сделать заключение о качестве эксперимента. Сказанное иллюстрирует рис.9.2. Масштаб графика 9.2, в выбран правильно.

А

б в

 

Рис. 9.2. К выбору масштаба для координатных осей

 

Очень часто бывает удобным или даже необходимым систему координат выбрать так, чтобы экспериментальные точки в этой системе группировались около прямой линии. Имея результаты, которые в той или иной системе координат могут быть представлены в виде прямой, легко найти одним из описанных выше методов ее уравнение и после преобразования координат получить эмпирическую формулу. В табл. 9.1 приведена сводка формул для преобразования системы координат с целью получения линейной зависимости применительно к некоторым часто используемым функциям.

Таблица 9.1

 

Вид функции	Новые переменные
Ось абсцисс ξ	Ось ординат η
	x	y
	log x*	log y*
	x	log y*
	x	log y*
	x
	x
	x
	x

 

Рекомендуется следующий порядок построения линейных графиков:

а) полученные данные наносят на график с координатами х, у и проводят плавную кривую;

б) из табл. 9.1 выбирают функцию, характер изменения которой в наибольшей степени совпадает с характером изменения опытной кривой;

в) преобразование осей координат производят в соответствии с указаниями табл. 9.1.

В новой системе координат получается линейная зависимость, которую можно использовать для дальнейшего анализа.

В координатах ξ, η функция, аппроксимирующая опытные данные, принимает вид

(9.8)

В этом случае система уравнений (9.1) или (9.3) для определения свободных параметров а₁ и а₂ включает два уравнения и легко решается.

Расчетные формулы для определения параметров а₁ и а₂ методом наименьших квадратов имеют вид

. (9.9)

Значения величин ξ_i, η_i находят по результатам эксперимента. Параметр а₁ определяет длину отрезка, отсекаемого аппроксимирующей прямой на координатной оси η, построенной от начала координат, а параметр а₂ характеризует угол наклона этой прямой к координатной оси ξ. Значение а₂ численно равно тангенсу этого угла (рис. 9.3). Иногда значение одного из свободных параметров (а₁ или а₂) удается определить из теоретических соображений. В этом случае один из параметров фиксируется, а другой свободный параметр находится с помощью полученных опытных данных методом наименьших квадратов. Расчетные соотношения метода наименьших квадратов:

 

Рис. 5.3. Нахождение аппроксимирующей функции

с предварительным преобразованием системы координат

 

а) известно значение a₁,

(9.10)

б) известно значение а₂,

(9.11)

По найденным значениям свободных параметров а₁ и а₂ строится аппроксимирующая прямая.