Первообразная функция и неопределенный интеграл

ТЕМА «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

ЛЕКЦИЯ № 1

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПЛАН

 

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенных интегралов.

3. Таблица основных неопределенных интегралов.

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по…  

.

Доказательство. Так как F(x) и Ф(х) первообразные для f(х), то и . Поэтому . А это означает, что , где С – постоянное число. Следовательно, .

 

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(х) на проме- жутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(х) на этом промежутке и обозначается , где - знак

интеграла, f(х) - подынтегральная функция, f(x)d x – подынте-

гральное выражение.

 

Таким образом, , (1)

где , С – произвольная постоянная.

 

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Назовем график первообразной от f(х) инте-

гральной кривой. Таким образом, если

, то график функции у = F(x) есть

интегральная кривая. Неопределенный интеграл

геометрически представляет семейство всех ин-

тегральных кривых. Все кривые из этого семей-

Рисунок 1 ства у = F(x) + С могут быть получены из

одной интегральной кривой параллельным

сдвигом в направлении оси Оу.

 

Теорема. Всякая непрерывная на множестве Х функция f(х) имеет на этом

множестве первообразную, а следовательно, и неопределенный

интеграл.

 

Свойства неопределенных интегралов

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

Доказательство. Дифференцируя левую и правую часть равенства (1), получаем: .

Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1 имеем: .

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

Доказательство. По определению дифференциала и рассматривая функцию F(x) как первообразную для некоторой функции f(х) имеем .

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. .

Доказательство.

(положили ).

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е. .

Доказательство. Пусть и . Тогда

, где .

Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Доказательство. Пусть х - независимая переменная, f(х) – непрерывная функция и F(x) – ее первообразная. Тогда . Положим , где - непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию . В силу инвариантности формы дифференциала первого порядка функции имеем . Отсюда .

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Таблица основных неопределенных интегралов

 

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными.

В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы нахождения первообразных сводятся к указанию приемов, приводящих данный интеграл к табличному. Поэтому, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

В таблице основных интегралов переменная интегрирования U может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования).

 

Таблица интегралов

Формулы интегрирования

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием. Докажем, например, формулу (12).