Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции.

Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Определение. Функция F(x) называется первообразнойдля функции f(х) на

промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка выпол-

няется равенство .

В простейших случаях первообразную можно найти сразу, зная формулы для производных. Например, очевидно, что если

Если функция f(х) имеет первообразную, то она имеет их бесчисленное множество. Например, функции соответствует множество первообразных: т.к. ,

Таким образом, справедлива лемма о первообразных: если функция F(х) – первообразная для функции f(х) на промежутке Х, то функция F(x) + C, где С – const, является первообразной для функции f(х) на том же промежутке . Однако, более глубоким является такой вопрос: существует ли у функции f(х) первообразные другого вида, чем F(х) + С. Оказывается не существует. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если F(x) и Ф(х) – две любые первообразные функции для f(х), то

они могут различаться лишь на постоянное слагаемое, т.е.