Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция , где точка М=(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по двум переменным. Пусть задан вектор (определено направление ). Рассмотрим точку , лежащую на , и точку также расположенную на . Функция при перемещении М в положение получит приращение

.

Обозначим через .

Предел

называют производной функциипо направлению и обозначают .

ТЕОРЕМА (о вычислении производной функции по заданному направлению)

Если и функция непрерывна вместе со своими частными производными, тогда справедливо равенство:

. (5)

Заметим, что частные производные являются частным случаем производной по направлению.

Производная характеризует скорость изменения функции по направлению вектора .

Определение. Пусть задана функция в области . Вектор

называют градиентом функции .