рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательная плоскость и нормаль к поверхности - Лекция, раздел Математика, Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции двух переменных   Касательной Плоскостью К Поверхности S...

 

Касательной плоскостью к поверхности S в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности S через точку М0.


Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной равнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:

 

z – z0 = f’x(x0,y0)(x – x0) + f’y(x0,y0)(y – y0) (1)


Вектор называется вектором нормали к поверхности S в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.


Нормалью к поверхности S в точке М0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N. Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0), где z0 = f(x0,y0), имеют вид:

 

(2)

Пусть поверхность задана уравнением

(3)

в неявном виде. Будем считать, что и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда

(4)

Условимся писать вместо .

Уравнение касательной плоскости к в точке запишется так:

, (5)

а уравнение нормали к в точке - так:

. (6)

Пример 1. Уравнение

(7)

определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью (рис. 1).

Рис. 1

Левая часть уравнения (7) имеет частные производные

,

одновременно не равные нулю, если точка . В любой такой точке, которую обозначим через , касательная плоскость определяется уравнением

.

Нормаль к в точке , т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение

.

Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности

в точке

Решение: Имеем

Тогда, согласно (1), уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид: z - 6 = - 4(x + 1) + 2(y - 2), то есть

4x - 2y + z + 2 = 0, а уравнение нормали, согласно (2):

Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к конусу

Решение. Имеем

Тогда

Уравнение касательной плоскости запишем в виде

или .

Уравнение нормали имеет вид

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции двух переменных

ЛЕКЦИЯ... Касательная плоскость и нормаль к поверхности Экстремум функции двух...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Экстремум функции двух переменных
  Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой области D и точка М0(х0, у0)

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума).
Если функция z = f(х, у) дифференцируема в точке М0(х0, у0) и имеет в ней экстремум, то частные прои

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума).
Пусть функция z = f(х, у) в критической точке М0(х0, у0) и некоторой её окрестности имеет непрерывны

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги