Геометрический, физический, механический, экономический смысл определенного интеграла

ТЕМА «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

ЛЕКЦИЯ № 4

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПЛАН

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Интегральная сумма. Определенный интеграл.

3. Геометрический, физический, механический, экономический смысл определенного интеграла.

4. Свойства определенного интеграла.

 

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции

Пусть дана непрерывная неотрицательная функция . Определение. Плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – отрезком оси Ох, слева и справа прямы-

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается по действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину , где х – абсцисса движущейся…  

Масса неоднородного стержня

Рассмотрим отрезок оси Ох и будем считать, что отрезок - это материальный стержень, имеющий определенную массу, у которого всеми размерами, кроме… Определение. Плотностью прямолинейного стержня называется количество массы, приходящейся на единицу его длины

Объем выпускаемой продукции

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства в зависимости от времени t. Найдем объем продукции U, произведенной за… Если производительность не изменяется с течением времени, то за промежуток… Для нахождения объема продукции U, произведенной за промежуток времени при меняющейся во времени производительности ,…

Интегральная сумма. Определенный интеграл

Рассмотрим на отрезке непрерывную функцию , принимающую неотрицательные значения . Выполним следующие действия: 1. С помощью точек , где , разобьем отрезок на n-частичных отрезков .

Геометрический смысл определенного интеграла

Исходя из задачи о площади криволинейной трапеции, получаем геометрический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, ограничен- ной сверху кривой , снизу отрезком

Физический смысл определенного интеграла

Возвращаясь к задаче о работе переменной силы, получаем физический смысл определенного интеграла: работа переменной силы , величина которой есть… . (20)  

Механический смысл определенного интеграла

На основании задачи о массе неоднородного стержня, имеем механический смысл определенного интеграла: масса m неоднородного стержня на отрезке равна… . (21)

Экономический смысл определенного интеграла

На основании задачи об объеме выпускаемой продукции и определения интеграла, получаем экономический смысл определенного интеграла , (22) то есть объем выпускаемой продукции за промежуток численно равен значению определенного интеграла от…

Свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая, что подынтегральные функции и интегрируемы на отрезке .   1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Доказательство. . Доказательство проводится аналогично для любого числа слагаемых.

Свойство аддитивности определенного интеграла.

. Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точку с в число точек… Если , то интегральную сумму можно разбить на две суммы: