Масса неоднородного стержня

Рассмотрим отрезок оси Ох и будем считать, что отрезок - это материальный стержень, имеющий определенную массу, у которого всеми размерами, кроме длины, можно пренебречь.

Определение. Плотностью прямолинейного стержня называется количество

массы, приходящейся на единицу его длины

(г/см). (13)

Если стержень однородный, то и . Если в каждой точке стержня своя плотность, т.е. , то стержень неоднородный.

Определим массу неоднородного стержня. Для этого разобьем отрезок произвольным образом на n-частей точками так, что (рисунок 5).

Рисунок 5

Обозначим длины частичных отрезков через :

Выберем на каждом из частичных отрезков произвольным образом точку . Будем считать, что каждый из полученных частичных отрезков в силу его малости – это однородный стержень, причем его плотность совпадает со значением плотности в соответствующей точке .

Произведение дает массу частичного отрезка, т.е. . Тогда масса всего стержня будет приближенно равна:

. (14)

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длины частичных отрезков . Поэтому за точное значение принимается предел суммы (14) при условии, что наибольшая длина частичных отрезков стремится к нулю:

. (15)